P1028 数的计算

题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数nn):

先输入一个自然数nn(n \le 1000n≤1000),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

1. 不作任何处理;

2. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;

3. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.

输入格式

11个自然数nn(n \le 1000n≤1000)

输出格式

11个整数，表示具有该性质数的个数。

输入输出样例

输入 #1复制

6

输出 #1复制

6

说明/提示

满足条件的数为

6，16，26，126，36，136

过不了的递归：

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 2000;

int n = 0;
int cnt = 1;
void func(int x){
	for(int i = 1;i <= x/2;i++){
		cnt ++;
		func(i);
	}
}

int main(){
	cin >> n;
	func(n);
	cout << cnt;

}

　　第一种解法：

f[1]=1
f[2]=2=f[1]+1
f[3]=2=f[1]+1
f[4]=4=f[1]+f[2]+1
f[5]=4=f[1]+f[2]+1

#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 2000;
int f[N];
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= i/2;j++){
            f[i] += f[j]; 
        }
        f[i]++;
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}

　　第二种解法：

n=0,n=1时，答案显然是1
n=2, ans=2;    n=3,ans=2
n=4,ans=4;    n=5,ans=4
n=6,ans=6;    n=7,ans=6
相信大家也发现了，2n与2n+1(n为非负整数)的答案是一样的 这就是第一个规律

然后我们以n=8为例，手动模拟一下

一共有10组解

8 1 8 2 8 3 8 4 8

1 2 8 1 3 8 1 4 8 2 4 8

1 2 4 8

我打出的东西很像一棵搜索树。。。

当我们把8和8下面的左三棵子树放在一起（即8和下面三列），并将所有的8都改成7，我们能发现，我们得到了n=7时的所有解；

我们再把最右端的子树（即剩下的部分）中的所有8删去，我们得到了n=4时的所有解

就这样，我们可以得到一个递推式，

    f(n)=f(n-1)                //7=8-1

        +f(n/2)                //4=8/2
再结合之前发现的规律

就能得到：

n%2==0时
    f(n)=f(n-1)+f(n/2)
n%2==1时
    f(n)=f(n-1)

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 2000;

int f[N];

int n = 0;
int cnt = 1;

int main(){
	cin >> n;
	f[0] = f[1] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(!(i%2)){
			f[i] = f[i - 1] + f[i/2];
		}else{
			f[i] = f[i - 1];  
		}
	}
	cout << f[n];
	return 0;
}

　　第三种：闫式DP

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 2000;

int f[N];

int n = 0;
int cnt = 1;

int main(){
	cin >> n;
	f[0] = f[1] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		f[i] = f[i - 1];
		if(!(i%2)){
			f[i] = f[i - 1] + f[i/2];
		}
	}
	cout << f[n];
	return 0;
}