P1035.级数求和

题目描述

已知：S_n= 1+1/2+1/3+…+1/nSn​=1+1/2+1/3+…+1/n。显然对于任意一个整数KK，当nn足够大的时候，S_nSn​大于KK。

现给出一个整数KK（1 \le k \le 151≤k≤15），要求计算出一个最小的nn；使得S_n>KSn​>K。

输入格式

一个正整数KK

输出格式

一个正整数NN

输入输出样例

输入 

1

输出 
2

我的代码:

#include<iostream>

using namespace std;

int main(){
    int a;
    scanf("%d",&a);
    double sum = 0.0000;//代码终极bug
    int n = 0;

    while(sum <= a){
        sum += 1.0/++n;
        // printf("%d\n",sum);
    }

    printf("%d",n);
    return 0;
}

大佬的:

在算模拟做法（做法1）的时间复杂度时，我想到了一种新的数论做法（做法2），检查了一遍题解发现没有这种做法，于是我写了这篇题解。

1.模拟

这种做法的思路是枚举nn从1开始，直到Sn>kSn>k结束，只需要一个循环即可实现。

代码：

#include<cstdio>
int main() {
    int k,n=0;
    scanf("%d",&k);
    for(double Sn=0;Sn<=k;++n,Sn+=1.0/n);
    printf("%d",n);
    return 0;
}
空间复杂度O(1)O(1)
时间复杂度O(e^{k-\gamma})O(e 
k−γ
 )（求法见做法2）

（如果那个\gammaγ可以约去的话，应该是O(e^k)O(e 
k
 )，但并不知道可不可以约去）

2.数论（调和级数）

关于调和级数的姿势，点这里。

已知Sn=1+1/2+1/3+...+1/n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}Sn=1+1/2+1/3+...+1/n=∑ 
k=1
n
​      
k
1
​     。

明显地，SnSn为第nn个调和数。

欧拉推导过求调和级数有限多项和的表达式为\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\ln(n+1)+\gamma∑ 
k=1
n
​      
k
1
​     =ln(n+1)+γ，我们拿过来用即可。（\gammaγ约等于0.5772156649）

我们需要满足Sn>kSn>k，即满足\ln(n+1)+\gamma>kln(n+1)+γ>k，化简得n>e^{k-\gamma}-1n>e 
k−γ
 −1。

我们只需求满足上式的最小的nn，所以n=e^{k-\gamma}+0.5n=e 
k−γ
 +0.5（四舍五入），即模拟做法的时间复杂度为O(e^{k-\gamma})O(e 
k−γ
 )。

关于\gammaγ（欧拉-马歇罗尼常数）的姿势，点这里。

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
const double gamma=0.5772156649;
int main() {
    int k,n;
    scanf("%d",&k);
    n=exp(k-gamma)+0.5;
    printf("%d",n);
    return 0;
}
空间复杂度O(1)O(1)
时间复杂度O(???)O(???)
（因为不知道math.h头文件中的exp函数的时间复杂度，所以不知道时间复杂度）

未解决的问题

1.时间复杂度O(e^{k-\gamma})O(e 
k−γ
 )中的\gammaγ可不可以约去？

2.math.h头文件中的exp函数的时间复杂度为多少？

3.有dalao说\gammaγ是极限意义下的，不能直接k-\gammak−γ是什么意思？