BZOJ4033：[HAOI2015]树上染色——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4033

有一棵点数为N的树，树边有边权。给你一个在0~N之内的正整数K，你要在这棵树中选择K个点，将其染成黑色，并将其他的N-K个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和的收益。

问收益最大值是多少。

emmm……人傻自然 $~O(nk)->O(nk^2)~$

参考：https://www.luogu.org/blog/mlystdcall/solution-p3177

设$f[i][j]$表示以$i$为根子树染$j$个点的最大收益……emm脑内想想就知道需要维护一大堆东西，一点也不优美（orz隔壁这么做出来的胡神犇）

参阅题解之后发现我们其实大可以按边算贡献来求总价值！

于是有了这个想法我们很快能列出来一条边，边权为w的贡献应为（边一头的黑点数）*（边另一头的黑点数）*w+（边一头的白点数）*（边一头的白点数）*w

（讲真很难想……没有一丝提示……也可能是我做题做少了……）

那么我们的$f[i][j]$的含义就变成了$i$子树里的边所能提供的最大贡献是多少，也就变成了树上背包问题了。

这个问题有经典的$O(nk)$算法，只要不像我写的那么丑就没有问题233。

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2005;
const ll INF=1e18;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int to,nxt,w;
}e[N*2];
int n,k,cnt,head[N],sz[N];
ll f[N][N];
inline void add(int u,int v,int w){
    e[++cnt].to=v;e[cnt].w=w;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
    sz[u]=1;f[u][0]=f[u][1]=0;
    for(int i=2;i<=k;i++)f[u][i]=-INF;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to,w=e[i].w;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        for(int i=min(k,sz[u]);i>=0;i--){
            for(int j=min(k-i,sz[v]);j>=0;j--){
                ll val=(ll)j*(k-j)*w+(ll)(sz[v]-j)*(n-sz[v]-k+j)*w;
                f[u][i+j]=max(f[u][i+j],f[u][i]+f[v][j]+val);
            }
        }
        sz[u]+=sz[v];
    }
}
int main(){
    n=read(),k=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        add(u,v,w);add(v,u,w);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",f[1][k]);
    return 0;
}

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