BZOJ4589：Hard Nim——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4589

Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：

1. Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。

2. 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。

不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。

Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。

由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。

天哪这个tinymce可以用latex我才知道……以及我还是想不到dp啊。

用到一个结论：后手获胜条件是每堆石子异或和为0。

设$f[i][j]$为前$i$堆异或和为$j$的方案数，$g[i]$表示$i$是否为质数。

于是$f[i][j]=\sum_{k=0}^mf[i-1][j\oplus k]g[k]$

然后变成卷积就是$f[i][j]=\sum_{a\oplus b=j}f[i-1][a]g[b]$

同样还是把$f[i-1][a]$递归展开发现是卷积套卷积……n次，于是FWT快速幂就好了。

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using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const int p=1e9+7;
const int inv=500000004;
inline int add(int x,int y){
    x+=y;if(x>=p)x-=p;return x;
}
inline int sub(int x,int y){
    x-=y;if(x<0)x+=p;return x;
}
void FWT(int a[],int n,int on){
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
    for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
        for(int k=0;k<i;k++){
        int u=a[j+k],t=a[j+k+i];
        a[j+k]=add(u,t);
        a[j+k+i]=sub(u,t);
        if(on==-1){
            a[j+k]=(ll)a[j+k]*inv%p;
            a[j+k+i]=(ll)a[j+k+i]*inv%p;
        }
        }
    }
    }
}
int qpow(int k,int n){
    int res=1;
    while(n){
    if(n&1)res=(ll)res*k%p;
    k=(ll)k*k%p;n>>=1;
    }
    return res;
}
int pri[N],g[N],a[N],b[N],tot;
void Euler(int n){
    g[0]=g[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!g[i])pri[++tot]=i;
    for(int j=1;j<=tot;j++){
        if(i*pri[j]>n)break;
        g[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0)break;
    }
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)g[i]^=1;
}
int n,m;
int main(){
    Euler(5e4);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
    int len=1;
    while(len<=m)len<<=1;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    a[0]=1;
    for(int i=0;i<=m;i++)b[i]=g[i];
    FWT(a,len,1);FWT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*qpow(b[i],n)%p;
    FWT(a,len,-1);
    printf("%d\n",a[0]);
    }
    return 0;
}

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