洛谷1273：有线电视网——题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1273

某收费有线电视网计划转播一场重要的足球比赛。他们的转播网和用户终端构成一棵树状结构，这棵树的根结点位于足球比赛的现场，树叶为各个用户终端，其他中转站为该树的内部节点。

从转播站到转播站以及从转播站到所有用户终端的信号传输费用都是已知的，一场转播的总费用等于传输信号的费用总和。

现在每个用户都准备了一笔费用想观看这场精彩的足球比赛，有线电视网有权决定给哪些用户提供信号而不给哪些用户提供信号。

写一个程序找出一个方案使得有线电视网在不亏本的情况下使观看转播的用户尽可能多。

本题解的目的是想给大家一个显然的时间复杂度为$O(nm)$的做法，~~从此再也不用苦苦去纠结代码时间复杂度到底是多少~~。

首先仍然安利这位大佬对$O(nm)$树形背包的讲解，配合观看效果更佳：[https://www.luogu.com.cn/blog/P6174/solution-p2014](https://www.luogu.com.cn/blog/P6174/solution-p2014)

这道题是一道裸的树形背包题，设$f[i][j]$表示以$i$为根往下找$j$个叶子的最大价值，那么答案就是所有$f[1][j]\ge 0$当中最大的$j$。

在dp之前，我们按照后序遍历序列重新编号（即遍历到一个节点时，先搜索节点的子树，为它们编号后再为这个节点编号）。

然后开始dp，首先初始化，对$f[i][j]$赋值$-INF$，当$j==0$时$f[i][j]=0$。

之后转移：

如果$i$点是叶子节点那么有$f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+c[i],f[i-1][j])$和一般的0/1背包没什么区别

如果不是的话就有意思了，如果我们取$i$的话$f[i][j]=f[i-1][j]+c[i]$没什么问题，但是如果不取的话它和它的子树就一个都不能取了。

巧的是，由后序遍历定义不难推出$i$的子树节点编号在$[i-sz[i]+1,i]$之间（$sz[i]$为子树$i$的大小）。

所以不取的话$f[i][j]=f[i-sz[i]][j]$，综上$f[i][j]=max(f[i-1][j]+c[i],f[i-sz[i]][j])$

时间复杂度很容易看出是$O(nm)$的，这也是我写这篇题解的原因。

#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3010; 
const int INF=1e9;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int to,nxt;
}e[N];
int n,m,cnt,head[N],c[N];
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
int f[N][N],idx[N],sz[N],tot;
void dfs(int u){
    sz[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        dfs(v);sz[u]+=sz[v];
    }
    idx[++tot]=u;
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int u=1;u<=n-m;u++){
        int k=read();
        for(int j=1;j<=k;j++){
            int v=read();c[v]=-read();
            add(u,v);
        }
    }
    for(int u=n-m+1;u<=n;u++)c[u]+=read();
    dfs(1);
    for(int i=0;i<=tot;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            f[i][j]=-INF;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        int u=idx[i];
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(n-m+1<=u)f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+c[u],f[i-1][j]);
            else f[i][j]=max(f[i-1][j]+c[u],f[i-sz[u]][j]);
        }
    }
    for(int i=m;i>=0;i--){
        if(f[tot][i]>=0){
            printf("%d\n",i);return 0;
        }
    }
    return 0;
}

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