洛谷3676：小清新数据结构题——题解
在很久很久以前，有一棵n个点的树，每个点有一个点权。
现在有q次操作，每次操作是修改一个点的点权或指定一个点，询问以这个点为根时每棵子树点权和的平方和。
参考：洛谷树剖题解（%%rqy，zzq）
正解是动态点分治，然而：
1.难写，（对于我来说）也不会写。
2.第一个想到的难道不应该是树剖吗……
于是果断采用树剖，简易想法就是维护每个结点的子树权值和\(s\)和权值和的平方\(s^2\)。
先思考对于一个每次询问只询问1为根的询问。
我们把修改操作改为对节点\(u\)权值\(+x\)，实际上只对\(1-u\)路径上的点的\(s^2\)有影响。
设\(i\)为\(1-u\)路径上的点，则这部分修改对答案的贡献为：
\(\sum_i(s_i+v)^2-\sum_is_i^2\)
\(=\sum_i(2*s_i*v+v*v)\)
现在考虑换根为\(u\)操作+修改，实际上还是只对\(1-u\)路径上的点的\(s^2\)有影响。
设\(ans\)为以1为根的答案，\(a\)数组为以1为根的\(s\)，\(b\)数组为以\(u\)为根的\(s\)，将\(1-u\)路径上的点按顺序编号为\(1-k\)。
不难得出\(a_{i+1}+b_i=a _1=b_k\)
于是答案为：
\(ans-\sum_ia_i^2+\sum_ib_i^2\)
\(=ans-\sum_ia_i^2+\sum_i(a_1-a_{i+1})^2\)
\(=ans+(k-1)*a_1^2-2*a_1*(\sum_ia_i-a_1)\)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
const int INF=2147483647;
inline int read(){
int X=0,w=0;char ch=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){w|=ch=='-';ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return w?-X:X;
}
struct node{
int to,nxt;
}edge[2*N];
int head[N],cnt,tot,n,q;
int fa[N],dep[N],size[N],son[N],top[N],pos[N],idx[N],val[N];
ll sum[N],sum1[N*4],sum2[N*4],lazy[N*4];
inline void add(int u,int v){
edge[++cnt].to=v;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs1(int u){
size[u]=1;sum[u]=val[u];
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(v==fa[u])continue;
fa[v]=u;dep[v]=dep[u]+1;
dfs1(v);
size[u]+=size[v];sum[u]+=sum[v];
if(!son[u]||size[v]>size[son[u]])son[u]=v;
}
return;
}
void dfs2(int u,int anc){
pos[u]=++tot;
idx[tot]=u;
top[u]=anc;
if(!son[u])return;
dfs2(son[u],anc);
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
dfs2(v,v);
}
return;
}
inline void qmfy(int a,int l,int r,int x){
lazy[a]+=x;
sum2[a]+=x*x*(r-l+1)+2*x*sum1[a];
sum1[a]+=x*(r-l+1);
}
inline void push(int a,int l,int r){
if(!lazy[a])return;
int mid=(l+r)>>1;
qmfy(a*2,l,mid,lazy[a]);
qmfy(a*2+1,mid+1,r,lazy[a]);
lazy[a]=0;
}
inline void upt(int a){
sum1[a]=sum1[a*2]+sum1[a*2+1];
sum2[a]=sum2[a*2]+sum2[a*2+1];
}
void build(int a,int l,int r){
if(l==r){
sum1[a]=sum[idx[l]];
sum2[a]=sum1[a]*sum1[a];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(a*2,l,mid);
build(a*2+1,mid+1,r);
upt(a);
}
void modify(int a,int l,int r,int l1,int r1,ll v){
if(r1<l||r<l1)return;
if(l1<=l&&r<=r1){
qmfy(a,l,r,v);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
push(a,l,r);
modify(a*2,l,mid,l1,r1,v);
modify(a*2+1,mid+1,r,l1,r1,v);
upt(a);
}
void pathmodify(int u,int v,ll c){
while(top[u]!=top[v]){
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
modify(1,1,n,pos[top[u]],pos[u],c);
u=fa[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
modify(1,1,n,pos[u],pos[v],c);
return;
}
ll query(int a,int l,int r,int l1,int r1){
if(r1<l||l1>r)return 0;
if(l1<=l&&r<=r1)return sum1[a];
int mid=(l+r)>>1;
push(a,l,r);
return query(a*2,l,mid,l1,r1)+query(a*2+1,mid+1,r,l1,r1);
}
ll pathquery(int u,int v){
ll res=0;
while(top[u]!=top[v]){
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
res+=query(1,1,n,pos[top[u]],pos[u]);
u=fa[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
return res+query(1,1,n,pos[u],pos[v]);
}
inline ll nodequery(int u){
ll a=query(1,1,n,pos[1],pos[1]);
ll ans=sum2[1];
ll b=pathquery(u,1);
return ans+(dep[u]-1)*a*a-2*a*(b-a);
}
inline void init(){
dep[1]=1;dfs1(1);dfs2(1,1);
}
int main(){
n=read(),q=read();
for(int i=1;i<n;i++){
int u=read(),v=read();
add(u,v);add(v,u);
}
for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read();
init();
build(1,1,n);
while(q--){
int op=read();
if(op==1){
int x=read(),y=read();
pathmodify(x,1,y-val[x]);
val[x]=y;
}
if(op==2){
int x=read();
printf("%lld\n",nodequery(x));
}
}
return 0;
}
+本文作者：luyouqi233。 +
+欢迎访问我的博客：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/+
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
