洛谷2765：[网络流24题]魔术球问题——题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2765#sub

假设有n根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1，2，3，...的球。

（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。

（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如，在4 根柱子上最多可放11 个球。

参考：洛谷前两页题解。

一种做法是贪心，即能放在前面柱子的球就放在前面，然而正确性不好证（洛谷题解有证明）

然后考虑网络流。

一个很显然的想法就是对数拆点，左点连向右点当且仅当这两个数符合条件。我们对这个图跑一遍最大流就相当于找出最大匹配方案，这些匹配就相当一个链表，这样我们就知道了哪些球是放在一起的了。

之后做的就是尝试答案，直到链表超过n个为止。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=5000;
const int M=400000;
const int INF=1e9;
struct node{
    int nxt,to,w;
}edge[M];
int head[N],cnt=-1,S,T,re[N],nxt[N];
bool vis[N];
inline void add(int u,int v,int w){
    edge[++cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
    edge[++cnt].to=u;edge[cnt].w=0;edge[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt;
}
int lev[N],cur[N],dui[N];
bool bfs(int m){
    int r=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        lev[i]=-1;
        cur[i]=head[i];
    }
    dui[0]=S,lev[S]=0;
    int u,v;
    for(int l=0;l<=r;l++){
        u=dui[l];
        for(int e=head[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){
            v=edge[e].to;
            if(edge[e].w>0&&lev[v]==-1){ 
                lev[v]=lev[u]+1;
                r++;
                dui[r]=v; 
                if(v==T)return 1; 
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int u,int flow,int m){
    if(u==m)return flow;
    int res=0,delta;
    for(int &e=cur[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){
        int v=edge[e].to;
        if(edge[e].w>0&&lev[u]<lev[v]){ 
            delta=dinic(v,min(edge[e].w,flow-res),m); 
            if(delta>0){
                edge[e].w-=delta;
                edge[e^1].w+=delta;
                res+=delta;
        if(v!=m)nxt[u>>1]=v>>1;
                if(res==flow)break; 
            }
        }
    }
    if(res!=flow)lev[u]=-1;
    return res;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int n,now=0,num=0;
    scanf("%d",&n);
    S=1,T=N-5;
    while(now<=n){
    num++;
    add(S,num<<1,1);add(num<<1|1,T,1);
    for(int i=1;i<num;i++){
        int j=sqrt(i+num);
        if(j*j==i+num)add(i<<1,num<<1|1,1);
    }
    int ans=0;
    while(bfs(T))ans+=dinic(S,INF,T);
    if(!ans)re[++now]=num;
    }
    printf("%d\n",--num);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    int x=re[i];
    if(vis[x])continue;
    while(x){
        vis[x]=1;
        printf("%d ",x);
        x=nxt[x];
    }
    puts("");
    }
    return 0;
}

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