BZOJ2005：[Noi2010]能量采集——题解

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20

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参考了http://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/51089272

如果你做过POJ3090的话，应该能够想到，对于一个点(x,y)，则其到原点之间就经过了gcd(x,y)-1个点。

证明很显然：设t=gcd(x,y),x=at,y=bt，显然经过(a,b)(2a,2b)……(x,y)，不算最后一个点，一共经过了t-1个点。

带入我们的公式得到我们所要求的结果：2*(∑∑gcd(x,y))-m*n

也就是变成了求∑∑gcd(x,y)的题。

莫比乌斯反演一下得到∑∑∑phi(d)(d|gcd(x,y))

又因为d|gcd(x,y)导出d|a&&d|b，可以有：

∑n/d*m/d*phi(d)

好的我们又做完了。

 

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
ll phi[N],su[N],sum[N];
bool he[N];
void Euler(int n){
    int tot=0;
    phi[1]=1;    
    for(int i=2;i<=n;i++){    
    if(!he[i]){    
        su[++tot]=i;    
        phi[i]=i-1;
    }    
    for(int j=1;j<=tot;j++){    
        if(i*su[j]>=n)break;    
        he[i*su[j]]=1;   
        if(i%su[j]==0){    
        phi[i*su[j]]=phi[i]*su[j];break;    
        }    
        else phi[i*su[j]]=phi[i]*(su[j]-1);  
    }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)phi[i]+=phi[i-1];
    return;
}    
int main(){
    ll n,m,ans=0;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n>m)swap(n,m);
    Euler(n+1);
    for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
    j=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans+=(ll)(phi[j]-phi[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    printf("%lld\n",2*ans-n*m);
    return 0;
}