POJ 3150 Cellular Automaton（矩阵乘法+二分）

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题意 ： 给出n个数形成环形，一次转化就是将每一个数前后的d个数字的和对m取余，然后作为这个数，问进行k次转化后，数组变成什么。

思路 ：下述来自here

首先来看一下Sample里的第一组数据。
1 2 2 1 2
经过一次变换之后就成了
5 5 5 5 4
它的原理就是
a0 a1 a2 a3 a4
->
(a4+a0+a1) (a0+a1+a2) (a1+a2+a3) (a2+a3+a4) (a3+a4+a0)

如果用矩阵相乘来描述，那就可以表述为1xN和NxN的矩阵相乘，结果仍为1xN矩阵
a = 1 2 2 1 2 
b = 
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 1
a * b = 5 5 5 5 4
所以最终结果就是：a * (b^k)

线性代数不合格的同鞋表示压力很大。。

对一个NxN矩阵求k次方，而且这个k很大，N也不小，怎么办？
所以有高手观察到了，这个矩阵长得有点特殊，可以找到一些规律：
b^1 =
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 0]
[0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
b^2 =
[3, 2, 1, 1, 2]
[2, 3, 2, 1, 1]
[1, 2, 3, 2, 1]
[1, 1, 2, 3, 2]
[2, 1, 1, 2, 3]
b^3 =
[7, 6, 4, 4, 6]
[6, 7, 6, 4, 4]
[4, 6, 7, 6, 4]
[4, 4, 6, 7, 6]
[6, 4, 4, 6, 7]
b^4 =
[19, 17, 14, 14, 17]
[17, 19, 17, 14, 14]
[14, 17, 19, 17, 14]
[14, 14, 17, 19, 17]
[17, 14, 14, 17, 19]

发现神马没有。就是无论是b的几次幂，都符合A[i][j] = A[i-1][j-1]
高手说是这样推倒出来地：
““”
利用矩阵A，B具有a[i][j]=A[i-1][j-1],B[i][j]=B[i-1][j-1]（i-1<0则表示i-1+n,j-1<0则表示j-1+n）
我们可以得出矩阵C=a*b也具有这个性质
C[i][j]=sum(A[i][t]*B[t][j])=sum(A[i-1][t-1],B[t-1][j-1])=sum(A[i-1][t],B[t][j-1])=C[i-1][j-1] 
“”“

这样就可以开一个N大小的数组来存放每次计算的结果了。而没必要用NxN。
N的问题解决了，但是k还是很大，怎么办？

这时候可以用二分法来求b^k
b^k = b^1 * b^4 * b^16 。。。

//3150
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define LL long long

using namespace std ;

int n,m , d , k ;
LL a[1010] ,b[1010] ;
void multi(LL *c,LL *d)
{
    LL x[1010] ;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)
    {
        x[i] = 0 ;
        for(int j = 0 ; j < n ; j++)
            x[i] += c[j] * d[i >= j ? (i - j) : (n + i - j)] ;//防止是负数，形成环
    }
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)
        d[i] = x[i] % m ;
}
int main()
{
  while(cin >> n >> m >> d >> k ){
    for(int i = 0 ; i < n  ; i++)
        cin >> a[i] ;
    b[0] = 1 ;
    for(int i = 1 ; i <= d ; i++)
        b[i] = b[n - i] = 1 ;
    while(k)
    {
        if(k & 1)//奇数
            multi(b,a) ;
        multi(b,b) ;
        k >>= 1 ;
    }
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)
        if(i == n-1) printf("%I64d\n",a[i]) ;
        else printf("%I64d ",a[i]) ;
  }
    return 0 ;
}

 

计算过程中，必定会出现数字大于M的情况。
切记 x*y = (x%M)*(y%M)