P2607 [ZJOI2008]骑士

题目大意：有\(n\)个士兵，每个士兵有\(d_i,a_i\)，表示\(i\)和\(d_i\)士兵不能同时出征，\(i\)士兵战斗力为\(a_i\)，组一个士兵集合使其战斗力最大。

基环树\(\mathcal{dp}\)。

每次找到一个环并强行断开，进行两次\(\mathcal{dp}\)，\(\mathcal{dp}\)方法：

设\(dp_{i,0}\)为不选\(i\)的最大战斗力，\(dp_{i,1}\)为选\(i\)的最大战斗力。

\[dp_{i,0} = \sum_{v \in \texttt{son}} \max(dp_{v,0},dp_{v,1})\\ dp_{i,1} = \left(\sum_{v \in \texttt{son}} dp_{v,0}\right) + a_i\\ \]

\(\texttt{dfs}\)既珂。

找环：

有向图：

迭代，每次判断\(f_x\)是否被访问过，如果访问过，说明\(x\)为环上一点，否则\(x \leftarrow f_x\)继续迭代。

int findcircle(int x) 
{
    vis[x] = 1;
    while(!vis[f[x]]) x = f[x],vis[f[x]] = 1;
    return x;
}

无向图：

拓扑排序，结束后度数\(\ge 2\)的节点为环上的点。

bool bfs(void)
{
    queue <int> q;
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(du[i] == 1) q.push(i);
    while(!q.empty())
    {
        int head = q.front();q.pop();
        cnt++;
        for(int i = 0; i < g[head].size(); i++)
        {
            int v = g[head][i];
            if(du[v])
            {
                if(--du[v] == 1) q.push(v);
            }
        }
    }
    return cnt == n; // 判断是否有环
}

这里是有向图，所以用第一个方法。先断\(x\)，进行\(\mathcal{dp}\)，再断\(f_x\)，进行\(\mathcal{dp}\)，取最大值相加（因为是森林）。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5,inf = 0x3f3f3f3f;

int n;
vector <int> g[N];
int a[N],du[N];
long long dp[N][2]; // 0 not choose 1 choose
int h[N],htot;
bool vis[N];
int f[N];
int rt;

long long ans;

void DP(int x)
{
    vis[x] = 1;
    dp[x][0] = 0,dp[x][1] = 1ll * a[x];
    for(int i = 0; i < g[x].size(); i++)
    {
        int v = g[x][i];
        if(v != rt)
        {
            DP(v);
            dp[x][1] += dp[v][0];
            dp[x][0] += max(dp[v][0],dp[v][1]);
        }
        else dp[v][1] = -inf; //强制不选
    }
    return;
}

void find_circle(int x)
{
    vis[x] = 1;
    while(!vis[f[x]]) x = f[x],vis[x] = 1;
    rt = x;
    // printf("rt = %d\n",rt);
    // for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = 0,dp[i][1] = a[i];
    DP(rt);
    long long dpx0 = dp[x][0],dpx1 = dp[x][1];
    x = f[x];
    rt = x;
    // for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = 0,dp[i][1] = a[i];
    DP(rt);
    long long _dpx0 = dp[x][0],_dpx1 = dp[x][1];
    ans += max(max(dpx0,_dpx1),max(dpx1,_dpx0));
    return;
}

int main(void)
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int v;
        scanf("%d%d",&a[i],&v);
        f[i] = v;
        g[v].push_back(i);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i]) 
        {
            find_circle(i);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}