[鲜花] Evening Glow.

典。
设实数数列 \(a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n\)，我们称数列 \(\{a_n\}\) 是上凸的，当且仅当：对于任意正整数\(1 \le k < n\), 满足 \(a_{k-1} + a_{k+1} \le 2 a_k\).

1. 判断数列 \(b_0 = 1, b_i = p\cdot b_{i-1}+q(i=1,2,\cdots, n)(p, q \ge 1)\) 是否为上凸的，并说明理由；
2. 设两个数列 \(f_0, f_1, f_2, \cdots, f_n; g_0, g_1, g_2, \cdots, g_n\). 定义数列 \(\{h_n\}: h_k = \max\{f_0 + g_k, f_1+g_{k-1}, \cdots, f_{k-1}+g_1, f_k + g_0\}(k = 0,1, 2, \cdots, n)\)，称作 \(h\) 为 \(f, g\) 的 \((\max, +)\) 卷积，记作 \(h = f \circ g\).

• 设 \(f_k = -5k+3, g_k = -k^2+2k-2(k = 0, 1, 2, \cdots, n), h = f \circ g\) ，求 \(h\)，并说明 \(h\) 是否是上凸的.
• 设 \(f, g\) 均为上凸的数列，数列 \(\mathrm{Ln}_k = \ln k(k \in \mathbb{N}), h = [\mathrm{Ln} \circ (f+g)] \space \circ \space \min\{f,g\}\)，求证：\(h\)也是上凸的。（符号说明：\((f+g)_k = f_k + g_k, [\min\{f,g\}]_k = \min \{f_k, g_k\}, k \in \mathbb{N}\)）

bonus:
\(h = X[\mathrm{Ln} \circ (f+g)] \space \circ \space Y\min\{f,g\}, X, Y \ge 0\);
\(h = t \{\ln \frac{k}{t}\} \circ g\);

Solution

1. 不是.

2. (i)

\[h_k = \begin{cases} -k^2+2k+1 & 0 \le k \le 3 \\ 13-5k & k > 3 \end{cases} \]

上凸易证。
2. (ii)

• 证 \(\mathrm{Ln}\) 上凸：\(\forall k \ge 1, \ln (k-1) + \ln (k+1) = \ln (k^2-1) \le \ln k^2 \le 2\ln k\)，得证。
• 证 \((f+g)\) 上凸：\(\forall k \ge 1, (f+g)_{k-1} + (f+g)_{k+1} = f_{k-1}+g_{k-1}+f_{k+1}+g_{k+1} \le 2f_k + 2g_k = 2(f+g)_k\)，得证。
• 证 \(\min \{f, g\}\) 上凸：\(\forall k \ge 1, [\min \{f, g\}]_{k-1}+[\min \{f, g\}]_{k+1} = \min\{f_{k-1}, g_{k-1}\} + \min \{f_{k+1}, g_{k+1}\} \le \min \{f_{k-1}+f_{k+1}, g_{k-1}+g_{k+1}\} \le 2 \min \{f_k, g_k\} = 2[\min \{f, g\}]_k\)，得证。
• 设 \(F,G\) 上凸，\(H = F \circ G\)，证 \(H\) 上凸：

设 \(\mathcal{C}F_k = F_k - F_{k-1}(k \ge 1), \mathcal{C}F_0 = F_0, \mathcal{C}G\) 同理。
则对于\(\forall k \ge 0, F_k = \sum \limits_{i=0}^k \mathcal{C}F_i\)
\(F\) 上凸 \(\Leftrightarrow \forall k \ge 1, \mathcal{C}F_{k+1} \le \mathcal{C}F_k\).
\(G\) 同理。
此时 \(H_k\) 可以转化为：选择两个非负整数 \(s, t\)，满足 \(s + t = k(k \ge 0)\) 且 \(\sum \limits_{i=0} ^ s \mathcal{C}F_i + \sum \limits_{i=0}^t \mathcal{C}G_i\) 最大。称选择 \(\mathcal{C}F_0, \mathcal{C}F_1, \cdots, \mathcal{C}F_s; \mathcal{C}G_0, \mathcal{C}G_1, \cdots, \mathcal{C}G_t\) 的方案为 选择\([s,t]\).（\(H_0=F_0+G_0\)）
以下 \(\mathcal{C}F, \mathcal{C}G\) 均指去掉了第0项后的数列，即\(\{\mathcal{C}F_n\}_{n \ge 1}, \{\mathcal{C}G_n\}_{n \ge 1}\).
所以 \(\mathcal{C}F, \mathcal{C}G\) 均是单调不升的数列，设 \(\mathcal{C}\) 为将 \(\mathcal{C}F, \mathcal{C}G\) 所有元素放入并从大到小重新排列的数列。
由于 \(\mathcal{C}F, \mathcal{C}G\) 的单调性，其元素在 \(\mathcal{C}\) 中的相对顺序都各保持不变。所以，如果我在 \(\mathcal{C}\) 中选择了长度为 \(p\) 的前缀（即\(\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \cdots, \mathcal{C}_p\)），则一定能对应至少一种选择 \([s, p-s]\). 而 \(\mathcal{C}\) 满足单调不升，所以\(H_k = \sum_{i=0}^k \mathcal{C}_k(k \ge 1)\)。对应地，\(\mathcal{C}H_k = \mathcal{C}_k (k \ge 1)\). 所以 \(\forall k \ge 1, \mathcal{C}H_{k+1} \le \mathcal{C}H_k\)，\(H\) 上凸，得证。

由上述证明，\(h\) 上凸。