2024 新高考I卷数学19题

Tips: 作者想题的时候在打块，可能是错的。
题目长这样：

做这个题我受到了之前玩的一个玩具的启发（ 大概就是小时候有那种中间镂空的铁轨，然后你可以把它拼接在一起，我之前就试过把它们先间隔一个拼起来，最后刚好剩两个空位，也就是对应题目的删除的位置。不过这个也很好注意到就是了。

首先这个 \(a\) 没有任何用，只关注下标。

(1) 是超级原神题，答案是(1,6), (1,2), (5,6)。

(2) 我们拿 \(m = 3\) 玩一下：

1 (2) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (13) 14
1 4 7 10
3 6 9 12
5 8 11 14
做完了。
然后 \(m > 3\) 的时候，后面就四个四个分就行。

(3)
感觉这个我只要找到足够多的合法解就行了啊，尽量多找找长啥样的解是合法的就行，不过出题人把上界卡得很紧的话那感觉有点没救（好像确实挺紧）。
考虑到 (2) 给了一个比较厉害的解，我们考虑他长啥样：

我们把序列四个分为一组，编号 \(0, 1, 2, \cdots , m\) （最后一组2个）
发现 \((2, 13)\) 对应的就是一组的第二个和另一组的第一个。这启发我们将他写成 \((4i + 2, 4j + 1)\) 的形式，注意到：

• \(i, j\) 向左右平移相同步都合法，这是显然的。
• 注意到 \((2, 9)\) 也是合法的。构造方式如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 3 5 7
4 6 8 10
...

• 我现在有形如 \((4i + 2, 4j + 1)\) 的一组合法解 \((x, y)\)，不难发现 \([x - 1, y + 1]\) 中除了 \(x, y\) 都覆盖了。我们让 \(y \leftarrow y + 8\)，那么这时候 \(y\) 就是要覆盖的，而 \(y + 1\) 等价于不用覆盖。那问题就变成了覆盖 \([y, y + 9]\) 且 \(y + 1\) 已覆盖的问题，等价于 \((y + 1, y + 8)\) 的合法性，这等价于 \((2, 9)\)，是合法的，归纳一下发现 \((x, y + 8k)\) 都合法。

• 基于我前面有两组解 \((2, 9), (2, 13)\)，所以形如 \((4i + 2, 4j + 1) (j \ge i + 2)\) 的都合法（注意 \((2,5)\) 这种是没救的）。解数大概是 \(\binom{m + 1}{2} - m\)， 可能算错了。

upd：从别人那里学到了一种更自然的方法：Link

然后估算了一下发现不够 \(\frac{1}{8}\)， 怎么会是呢。然后发现我唐了，因为有一些显然的情况：

• \((4i + 1, 4j + 2) (i \le j)\) 是肯定合法的，因为剩下的块全是连续的四个分分就行了。解数 \(\binom{m + 1}{2} + (m + 1)\)，可能算错了。

加起来发现等于 \(m^2 + m + 1\)， 那么

\[\begin{aligned} P_m &\ge \dfrac{m^2 + m + 1}{\binom{4m + 2}{2}}\\ &= \dfrac{m^2 + m + 1}{(4m+1)(2m+1)}\\ &= \dfrac{m^2 + m + 1}{8m^2+6m+1} \end{aligned} \]

后面随便做一下就能证出来 \(P_m > \frac{1}{8}\)。

不过感觉这个在 \(m\) 比较小的时候可能有点问题，分类讨论单独证一下吧。（也许没问题？）

大概想了 20 分钟，主要是第二问给了我一些启发，然后就发现解有很强的归纳性。不过我在 \((4i + 1, 4j + 2)\) 这里唐了很久，没有想到这个形式的解而是尝试 reverse 整个序列找新的解（不过感觉 reverse 之后解的形式应该本质相同啊（upd：完全相同），不然不符合常理了，我当时不知道在想什么/qd）导致解太少了做不出来，简直是弱智。

事实证明这个界还是挺紧的，我一开始少考虑了一些东西算出来的都比 1/8 小一点。

remaining problems ：是否还有别的形式的解？upd：已经有求全部方案数的做法了。事实上就是 类似于 \((4i+2, 4j+1)(j=i+1)\) 的解在一部分 \(m\) 是成立的。然后这篇文章证了充要性，很牛。

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upd : 前面假了一发。