2024 新高考I卷数学19题

Tips: 作者想题的时候在打块,可能是错的。
题目长这样:

做这个题我受到了之前玩的一个玩具的启发( 大概就是小时候有那种中间镂空的铁轨,然后你可以把它拼接在一起,我之前就试过把它们先间隔一个拼起来,最后刚好剩两个空位,也就是对应题目的删除的位置。不过这个也很好注意到就是了。

首先这个 a 没有任何用,只关注下标。

(1) 是超级原神题,答案是(1,6), (1,2), (5,6)。

(2) 我们拿 m=3 玩一下:

1 (2) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (13) 14
1 4 7 10
3 6 9 12
5 8 11 14
做完了。
然后 m>3 的时候,后面就四个四个分就行。

(3)
感觉这个我只要找到足够多的合法解就行了啊,尽量多找找长啥样的解是合法的就行,不过出题人把上界卡得很紧的话那感觉有点没救(好像确实挺紧)。
考虑到 (2) 给了一个比较厉害的解,我们考虑他长啥样:

我们把序列四个分为一组,编号 0,1,2,,m (最后一组2个)
发现 (2,13) 对应的就是一组的第二个和另一组的第一个。这启发我们将他写成 (4i+2,4j+1) 的形式,注意到:

  • i,j 向左右平移相同步都合法,这是显然的。
  • 注意到 (2,9) 也是合法的。构造方式如下:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 3 5 7
4 6 8 10
...

  • 我现在有形如 (4i+2,4j+1) 的一组合法解 (x,y),不难发现 [x1,y+1] 中除了 x,y 都覆盖了。我们让 yy+8,那么这时候 y 就是要覆盖的,而 y+1 等价于不用覆盖。那问题就变成了覆盖 [y,y+9]y+1 已覆盖的问题,等价于 (y+1,y+8) 的合法性,这等价于 (2,9),是合法的,归纳一下发现 (x,y+8k) 都合法。

  • 基于我前面有两组解 (2,9),(2,13),所以形如 (4i+2,4j+1)(ji+2) 的都合法(注意 (2,5) 这种是没救的)。解数大概是 (m+12)m, 可能算错了。

upd:从别人那里学到了一种更自然的方法:Link

然后估算了一下发现不够 18, 怎么会是呢。然后发现我唐了,因为有一些显然的情况:

  • (4i+1,4j+2)(ij) 是肯定合法的,因为剩下的块全是连续的四个分分就行了。解数 (m+12)+(m+1),可能算错了。

加起来发现等于 m2+m+1, 那么

Pmm2+m+1(4m+22)=m2+m+1(4m+1)(2m+1)=m2+m+18m2+6m+1

后面随便做一下就能证出来 Pm>18

不过感觉这个在 m 比较小的时候可能有点问题,分类讨论单独证一下吧。(也许没问题?)

大概想了 20 分钟,主要是第二问给了我一些启发,然后就发现解有很强的归纳性。不过我在 (4i+1,4j+2) 这里唐了很久,没有想到这个形式的解而是尝试 reverse 整个序列找新的解(不过感觉 reverse 之后解的形式应该本质相同啊(upd:完全相同),不然不符合常理了,我当时不知道在想什么/qd)导致解太少了做不出来,简直是弱智。

事实证明这个界还是挺紧的,我一开始少考虑了一些东西算出来的都比 1/8 小一点。

remaining problems :是否还有别的形式的解?upd:已经有求全部方案数的做法了。事实上就是 类似于 (4i+2,4j+1)(j=i+1) 的解在一部分 m 是成立的。然后这篇文章证了充要性,很牛。


upd : 前面假了一发。

posted @   luyiming123  阅读(353)  评论(0编辑  收藏  举报
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