P4630 [APIO2018] 铁人两项

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题目大意

给一个$n$个点$m$条边的无向图，求符合条件的三元组$(s,c,f)$个数：存在一条$s \to f$的路径，经过点$c$，并且每个点最多经过一次。
$n \le 10^5,m \le 2 \times 10^5$。

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Solution

圆方树板题。
建完圆方树后，枚举每个点为$c$，计算$s,f$的个数。
考虑每个点的权值，对于圆点权值为$-1$，方点权值为它代表的V-DCC大小。
考虑在$c$子树内的，即为各子树的$siz$相乘（$siz$指子树内圆点个数）。
$s$（或$f$）在$c$子树外的情况，即为$siz_c \times (N - siz_c)$，N指当前连通块点数。最后别忘了*2，因为$s,f$可以互换。最后乘上权值，结束。

或者也可以用换根dp来做。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
vector <int> g[N],g2[N << 1];
int n,m;
int dfn[N],low[N],w[N << 1],dfntot;
int cnt,s[N << 1],top = 0,Cntn = 0;
void tarjan(int x,int fa)
{
    dfn[x] = low[x] = ++dfntot,w[x] = -1; ++Cntn,s[++top] = x;
    for(int i = 0; i < (int)g[x].size(); i++)
    {
        int v = g[x][i];
        if(v == fa) continue;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,x);
            low[x] = min(low[x],low[v]);
            if(low[v] >= dfn[x])
            {
                w[++cnt] = 1;
                g2[cnt].push_back(x),g2[x].push_back(cnt);
                int vv;
                do
                {
                    vv = s[top--];
                    ++w[cnt];
                    g2[vv].push_back(cnt),g2[cnt].push_back(vv);
                }while(vv != v);
            }
        }
        else low[x] = min(low[x],dfn[v]);
    }
    return;
}
int siz[N << 1];
long long ans = 0;
void dfs(int x,int fa)
{
    siz[x] = (x <= n);
    for(int i = 0; i < (int)g2[x].size(); i++)
    {
        int v = g2[x][i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,x);
        ans += 2ll * siz[x] * siz[v] * w[x];
        siz[x] += siz[v];
    }
    ans += 2ll * siz[x] * (Cntn - siz[x]) * w[x];
    return;
}
int main(void)
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    cnt = n;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
        g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(!dfn[i]) 
        {
            Cntn = 0;
            top = 0;
            tarjan(i,0);
            if(Cntn > 2) dfs(i,0);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}