Atcoder ABC 266 EF

E

题目大意

有一个游戏，你可以玩\(n\)次，每次投一个骰子，若数字为\(X\)，则：

• 若这把是第\(n\)把，那么你的分数为\(X\)，游戏结束
• 否则，你可以选择继续游戏，或者立刻停止游戏，分数为\(X\)，游戏结束
  求最大的得分期望。
  \(n \le 100\)(???)

Solution

设\(f(d,x)\)为第\(d\)次游戏，骰子数为\(x\)的最大期望得分。

\[f(d,x) = \begin{cases} \max \{x,\dfrac{1}{6} \cdot \left[f(d+1,1) + f(d+1,2) + \cdots,f(d+1,n)\right]\} & (d < n) \\ x & (d = n) \end{cases} \]

时间复杂度\(O(n)\)。

F

题目大意

给一个\(n\)个点\(n\)条边的无向连通图（基环树），\(q\)次询问，每次询问给\(x,y\)，询问从\(x\)到\(y\)的简单路径是否唯一。
\(n \le 2 \times 10^5,q \le 2 \times 10^5\)

Solution

不妨以样例二为例：

假设我们询问(3,2)
答案显然是No.
为什么呢？我们发现其中一条简单路径\(3 \to 5 \to 2\)，其中的\(5,2\)都在环上，而环上两点显然有两条简单路径可以走，所以有另一条简单路径：\(3 \to 5 \to 7 \to 9 \to 2\)。
再询问一手(8,2)
发现只有一个点在环上，所以简单路径唯一。
没有点在环上更不用说了，那肯定唯一。
所以问题转化为：求\(x,y\)的其中一条简单路径，路径上在环上的点是否大于等于2.
判环\(O(n)\)，然后维护路径点权和\(O(n\log{n} + q \log{n})\)或\(O(n + q \log{n})\)（取决于实现方式，倍增 或 树链剖分）