Atcoder ABC 263E 期望，数学

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题意

有$n$个地方，编号为$1\sim n$，每个地方有一个骰子，骰子上标有整数$0,1,\cdots , A_i$，一个人在$i$掷骰子到$j$，那么他会走到编号为$i+j$的地方。若一个人不在编号为$n$的地方，那么他会一直投骰子。求投骰子的期望次数。$n \le 2 \times 10^5,A_i \le n - i$.

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Solution

根据套路，设$dp_i$为$i$到$n$的期望次数，有$dp_n=0$.
考虑$dp_i(i < n)$的情况，发现投到0的情况有点难处理，根据期望的线性性，单独处理。

$$dp_{i} = \dfrac{\sum_{j = 1} ^ {A_i} dp_{i + j} }{A_j} + X + 1$$

其中$X$是投到$0$后投骰子的期望步数。
推导$X$：

$$X = \left( \sum_{j = 0} ^ {+\infty} \dfrac{j}{(A_i + 1) ^ j} \right) \cdot \dfrac{1}{A_i + 1} \\ 注意到\sum_{j = 0} ^ {+\infty} \dfrac{j}{(A_i + 1) ^ j} = \dfrac{A_i + 1}{A_i^2}\\ 则X = \dfrac{A_i + 1}{A_i^2} \cdot \dfrac{1}{A_i + 1} = \dfrac{1}{A_i}\\ 带回原式，有dp_i = \dfrac{\sum_{j = 1} ^ {A_i} dp_{i + j}}{A_j} + \dfrac{1}{A_i} + 1\\ $$

前缀和搞搞即可。

（本文参考本题官方Editorial，并对一些个人觉得有点问题的地方进行了修改，如有错误请指出)