分层图总结

分层图

分层图主要就是通过将图分为几层，每层内部都有边，然后各层之间也有边，用于解决对边权进行操作且操作数少的题目。

Example

给一个无向图，求\(1 \to n\)的最短路径，其中可以选择不超过\(k\)条边让边的边权变为一半。 \(n \le 50,m \le 1000,k \le 50\)。

考虑建立\(0,1,2,\cdots,k\)层共\(k + 1\)层图。定义\(P(x,y)\)为第\(y\)层的点\(x\)。每层内部都按照原图连边，然后考虑边\((u,v) \in E\)，对于第\(i\)和\(i + 1\)层（\(i + 1 \le k\)），连无向边\(P(u,i) \to P(v,i + 1)\)和\(P(v,i) \to P(u,i + 1)\)，边权为\(w / 2\)。然后跑一遍最短路，答案为\(\min_{i = 0} ^ k \{dis_{P(n,i)}\}\).

如果用pq优化的Dijkstra实现，时间复杂度为\(\mathcal{O}(mk + mk \log{mk})\)。

Problem

• P4822 [BJWC2012]冻结
  就是上面的例子。
• P4568 [JLOI2011]飞行路线
  一个套路。
• 某模拟赛题/某CF题

一个无向图，求\(S \to T\)的最短路，一条路径的长度定义为路径上的边权和减去最大边权加上最小边权。

发现其实就是\(\sum_{w \neq w_{\max},w \neq w_{\min}} w + 2 \cdot w_{\max}\)
跑分层图即可。