最短路径树（Shortest Path Tree,SPT）

什么是SPT？

• SPT是原图的一颗生成树。具有生成树的所有性质。
• 从根节点到任意节点的距离与其在原图的最短路距离相等。

如何求出SPT

结合单源最短路径算法。这里使用堆优化Dijkstra.
记录一个\(pre_i\)表示\(i\)的上一条边。这样只要有根就可以遍历出整棵树。

void dij(void)
{
    priority_queue <pair<int,int>,vector <pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;
    for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = inf,vis[i] = 0;
    dis[1] = 0;
    q.push(make_pair(0,1));
    while(!q.empty())
    {
        int x = q.top().second; q.pop();
        if(vis[x]) continue;
        vis[x] = 1;
        for(int i = Head[x]; i ; i = E[i].nxt)
        {
            int v = E[i].v;
            if(dis[v] >= dis[x] + E[i].w) // *
            {
                dis[v] = dis[x] + E[i].w;
                pre[v] = i;
                q.push(make_pair(dis[v],v));
            }
        }
    }
    return;
}

时间复杂度：\(\mathcal{O}((n + m) \log {n})\)

Problems

Simple

• CF545E Paths and Trees
  超级模板题。
• CF1076D Edge Deletion
  考虑求出SPT，然后从1开始dfs \(\min\{n - 1,k\}\) 条边。