换根dp

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引入

Problem

现在有一个无根树，要你确定一个根，使得其他点到这个根的距离最短。$n \le 10^5$

Solution

Thinking 1

枚举根，dfs暴力求距离，取最大值，时间复杂度$\mathcal{O}(n^2)$。

Thinking 2

如果让根的子树变成根，那个树的形态其实很多都没变！如果再来一次$\mathcal{O}(n)$的话，太浪费了！
我们考虑先选一个根节点（默认为1），然后dfs子树来更新。

假设我们现在已经通过第一次dfs算出了$dp[1]$（以1为根的答案），来求$dp[2]$。不难发现，$2$和$A$的深度都相比一开始减1，那么对答案的贡献就是减子树的大小，即$siz[2]$，然后除了$2$和$A$以外的所有点深度都加1，对答案的贡献加$n - siz[2]$。
整理得

$$dp[2] = dp[1] - siz[2] + n - siz[2] = dp[1] + n - 2siz[2]$$

推广到一般形式：

$$dp[v] = dp[x] + n - 2siz[v]$$

不难发现只需要两次dfs,所以时间复杂度为$\mathcal{O}(n)$。

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做法

1.先定一个根（一般是1），然后先算出答案，同时预处理一些转移需要的东西。
2.根据具体题目推式子转移。

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Exercise

Simple：

• P3478 [POI2008]STA-Station
• P1395 会议

Normal:

• P2986 [USACO10MAR]Great Cow Gathering G
• P3047 [USACO12FEB]Nearby Cows G
• ACWing 287. 积蓄程度