最长公共上升子序列 LCIS

Problem

给定两个序列\(A,B\)，求最长公共上升子序列。
\(n \le 3000\)

Solution

Step 1

设\(dp[i][j]\)为\(A[1 \sim i]\)与\(B[1 \sim j]\)中可以构成的以\(B_j\)结尾的最长公共上升子序列长度，不难得到：

\[dp[i][j] = \begin{cases} dp[i - 1][j] & A_i \neq B_j\\ \max \limits_{0 \le k < j, B_k < A_i} \{dp[i - 1][k]\} + 1 & A_i = B_j \end{cases} \]

不难发现可以\(\mathcal{O}(n^3)\)解决，但是太慢了！

Step 2

不难发现，在第二层循环\(j\)逐步增大的时候，满足条件的\(k\)值只增不减，那么我们可以记录下当前的最大值，然后一边更新dp，一边更新最大值即可，但是由于\(k\)不能等于\(j\)，所以当前的最大值一定是在dp更新之后更新。
具体地，若当前的\(j\)满足\(B_j < A_i\)，那么更新\(val = \max \{val,dp[i - 1][j]\}\)、

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3005;
int n,a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main(void)
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&b[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int val = 0;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = val + 1; 
            else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(b[j] < a[i]) val = max(val,dp[i - 1][j]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans,dp[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}