多项式笔记1

目录

• 多项式基础
• 多项式加法
• 多项式乘法
• 卷积
• 多项式的表示
  • 系数表示法
  • 点值表示法
  • 转换：

 

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多项式基础

一个以$x$为变量的多项式定义在一个代数域$F$上，可以写作：

$$A(x) = \sum_{i = 0} ^ n a_i x^i$$

其中$a_i \in F$。

对于一个多项式$f(x)$，其最高次项的次数为这个多项式的度，记作$\deg{f}$。

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多项式加法

有两个多项式$A(x)和B(x)$，且$\deg{A} = n,\deg{B} = m$，那么：

$$C(x) = A(x) + B(x) = \sum_{i = 1} ^ {\max(n,m)} (a_i +b_i) x ^ i$$

减法同理。

多项式的加减法可以在$O(n)$的时间复杂度内求出。

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多项式乘法

有两个多项式$A(x)$和$B(x)$，且$\deg{A} = \deg{B} = n$

$$C(x) = A(x)B(x) = \sum_{i = 0} ^ {n - 1} \sum_{j = 0} ^ {n - 1} a_i b_j x^{i + j} = \sum_{i = 0} ^ {2n - 2} c_i x ^ i$$

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卷积

设$a,b$是两个数列，那个两个数列的卷积$c$定义为

$$c_k = \sum_{i + j = k} a_i b_j \Leftrightarrow c_k = \sum_{i = 0} ^ k a_i b _{k - i}$$

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多项式的表示

系数表示法

对于一个多项式$A(x)，\deg{A} = n$，其系数组成了一个向量$a = (a_0,a_1,a_2,a_3, \cdots a_{n - 1})$

点值表示法

对于一个多项式$A(x), \deg{A} = n$，通过选取任意$x_i$，形成点的集合：

$$\{(x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1)),(x_2,A(x_2)),(x_3,A(x_3)), \cdots (x_{n - 1},A(x_{n - 1}))\}$$

转换：

系数转点值：随机选取$n$个互不相同的$x_0,x_1,x_2,x_3,\cdots , x_{n - 1}$，并进行计算$A(x_0),A(x_1),A(x_2),A(x_3), \cdots ,A(x_{n - 1})$，通过霍纳法则，计算$A(x_i)$的时间为$O(n)$，所以整个算法为$O(n^2)$（后面似乎有更快的算法）

点值转系数：咕了，睡个觉再写。