Lanczos sum rule
假设跃迁算符是 \(\hat{O}\),如果是 E2,\(\hat{O}\) 的第三分量可以是 \(-2,-1,0,1,2\)。
现在对于给定的初态 \(|i\rangle\),想要求它的某种 sum rule:
第一步先设置 Lanczos 的 pivot,把它设为 \(\hat{O}\) 作用在 \(|i\rangle\) 上得到的结果(如果第三分量有多种,就分别做,最后再求和):
\begin{equation}
| \varphi_0 \rangle = \hat{O} | i \rangle / \sqrt{\langle i | \hat{O}^\dagger \hat{O} | i \rangle }.
\end{equation}
然后,按照 Lanczos 的思路,构造 Krylov 子空间:
再拿着这些基矢进行正交化,按照 Lanczos 的处方,正交化以后第一个基仍然是 \(\varphi_0\),所以不妨把正交化的基矢记作:
在这个正交归一基下,做哈密顿量的近似对角化,得到近似本征波函数
那么,在这个 Krylov 子空间下,求一个近似的 sum rule,就是
把 \(|\nu\rangle\) 按 \(\varphi\) 展开的式子代进去,得到
到这里有个 trick,根据前面的定义,$|\varphi_0\rangle $ 正比于 \(\hat{O} |i\rangle\),另外 \(\left\{\varphi_0, \varphi_1, \cdots \right\}\)两两正交,所以 \(\langle \varphi_j | \hat{O} | i \rangle = \delta_{j0}\),因此
根据 PRC89, 064317(2014),\(I_N\) 会很快收敛到 \(I\)。
所以,在壳模型中,对于给定初态 \(|i\rangle\),可以想办法算 \(\hat{O} |i\rangle\) 的 norm,然后用 \(\hat{O}|i\rangle\) 做 pivot,进行若干步 Lanczos,得到 \(Q_{0\nu}\),再用上面的公式计算 sum rule。