群论基础(3)：有限群表示论

这是以前的笔记，还挺粗糙的，先放在这里。

3.1 引言

有限群的矩阵表示：非奇异矩阵与有限群群元一一对应，通过矩阵乘法与群乘法相对应。

忠实表示：这些非奇异矩阵都不相同。

等价表示：两个表示可以通过矩阵相似变换连接，则互为等价表示。

所有表示矩阵存在统一的不变子空间　\(\Leftrightarrow\) 可约表示。

3.2 有限群的任一表示都等价于一个幺正表示。

证明：假设有限群　G　有一个矩阵表示 T，则定义

\[H = \sum_{A \in G} T(A) T^\dagger (A), \]

它是一个厄米矩阵，假设它通过相似对角化，得到对角阵\(H_d\)，则有
\begin{equation}
H_d = U^{-1} H U = \sum_{A\in G} U^{-1} T(A) U U^{-1} T^\dagger(A) U = \sum_{A\in G} T'(A) T'^\dagger(A),
\end{equation}
其中　\(T'(A) = U^{-1} T(A) U\)　是 \(T\)　的等价表示。
那么　\(H_d\)　的第\(k\)个对角元为

\[[H_d]_{kk} = d_k = \sum_{A\in G} \sum_j T'_{kj} (A) [ T'^\dagger(A) ]_{jk} = \sum_{A \in G} \sum_j | T'_{kj}(A) |^2 \leq 0, \]

\(\forall A, j\), 都有　\(T'_{kj} (A) = 0\)　时，才有　\(d_k = 0\)，但那种情况下，\(T'\)　是奇异矩阵，与前提不符。所以一定有　\(d_k > 0\)，\(H_d\)　是正定矩阵。

拿着　\(H_d\)，可以构造矩阵
\begin{equation}
V = U H^{1/2}_d,
\end{equation}
使得
\begin{equation}
\Gamma (A) = V^{-1} \Gamma(A) V = H^{-1/2}_d U^{-1} T(A) U H^{1/2}_d = H^{-1/2}_d T'(A) H^{1/2}_d,
\end{equation}
则 \(\forall B \in G\)，有

\[\Gamma (B) \Gamma(B)^\dagger = H^{-1/2}_d T'(B) H^{1/2}_d H^{1/2}_d T'(B)^\dagger H^{-1/2}_d = H^{-1/2}_d T'(B) \sum_{A \in G} T'(A) T'^\dagger(A) T'(B)^\dagger H^{-1/2}_d = 1, \]

即　\(\Gamma\)　是有限群　G　的幺正表示。命题得证。

3.3 Shur 引理１

若 \(\Gamma\) 为有限群 G 的不可约表示，有一个矩阵 \(P\) 满足
\begin{equation}
\Gamma(A) P = P \Gamma(A), \forall A \in G,
\end{equation}
则 \(P\) 必为常数矩阵，即 \(P = cE\)。

证明：　根据代数基本定理，\(P\)　一定存在特征值和相应的特征向量(在复数域中定义)。
设有特征值 \(c\)，其对应的所有特征向量构成线性子空间 \(K\)，其中有 \(\vec{x} \in K\)，
\begin{equation}
P \vec{x} = c \vec{x},
\end{equation}
则有 \(\forall A \in G\)，
\begin{equation}
\Gamma(A) P \vec{x} = P \Gamma(A) \vec{x} = c \Gamma(A) \vec{x},
\end{equation}
即 \(\Gamma(A) \vec{x}\)　仍在　\(K\)　中。
所以，\(K\)是所有\(\Gamma\)矩阵的不变空间，若\(K\)的维数小于\(\Gamma\)的维数\(n\)，则\(\Gamma\)存在不变子空间，\(\Gamma\)不是不可约表示。
所以，\(K\)的维数必须等于\(n\)，即
\begin{equation}
P = c E.
\end{equation}
命题得证。

3.4 Shur 引理２

若\(\Gamma^{(i)}\)与\(\Gamma^{(j)}\)是有限群\(G\)的两个不可约表示，维数分别为\(l_i\)和\(l_j\)，有一个\(l_i \times l_j\)的矩阵\(M\),
\(\forall A \in G\)，　
\begin{equation}
\Gamma^{(i)}(A) M = M \Gamma^{(j)}(A),
\end{equation}
则有 \(M=0\)，或\(detM \neq 0\)且\(\Gamma^{(i)}\)与\(\Gamma^{(j)}\)等价。

证明：0矩阵乘以任何矩阵都得到0矩阵，如果\(M=0\)显然有\(\Gamma^{(i)}(A) M = M \Gamma^{(j)}A\)，下面我们只考虑\(M \neq 0\)的情况。

1. 如果\(l_i = l_j\)，

1. 如果　\(det M = 0\)，则\(\Gamma^{(i)}\)存在不变子空间，是可约表示。

2. 如果　\(det M \neq 0\)，则有 \(M^{-1} \Gamma^{(i)} (A) M = \Gamma^{(j)}(A)\)，它两个是等价表示。

2. 如果\(l_i \neq l_j\)，

1. 若\(l_i > l_j\)，则\(\Gamma^{(i)}\)存在不变子空间，可约。

2. 若\(l_i < l_j\)，则利用

\[ M^\dagger (\Gamma^{(i)})^\dagger (A) = (\Gamma^{(j)})^\dagger (A) M^\dagger, \]

根据前面证明过的定理，\(\Gamma^{(j)}\)一定与一个幺正表示等价，即　\(\Gamma^{(j)}(A) = S^{-1} W(A) S\), \(W\)为一个幺正表示。即

\[ (S^{-1})^\dagger M^\dagger (\Gamma^{(i)})^\dagger (A) = W(A^{-1}) (S^{-1})^\dagger M^\dagger, \]

即\((S^{-1})^\dagger M^\dagger\)是一个\(l_j \times l_i\)的矩阵，所以\(W\)有不变子空间，不可约，与前提矛盾。

综上所述，\(M=0\)，或\(detM \neq 0\)且\(\Gamma^{(i)}\)与\(\Gamma^{(j)}\)等价。命题得证。

3.５ 正交性定理

1. 如果\(\Gamma^{(i)}, \Gamma^{(j)}\)是有限群 G 的两个不等价不可约 幺正表示，维数分别为\(l_i, l_j\)，可以构造
   \begin{equation}
   M = \frac{1}{g} \sum_{A \in G} \Gamma^{(i)} (A) X \Gamma^{(j)} (A^{-1}),
   \end{equation}
   只要\(X\)是一个\(l_i \times l_j\)的矩阵，就一定有: \(\forall B \in G\), \(\Gamma^{(i)}(B) M = M \Gamma^{(j)}(B)\)，这很容易证明。

那么，根据Shur引理2，必有\(M=0\)，即 \(\forall s, t\),

\[M_{st} = \frac{1}{g} \sum_{A \in G} \sum_{kl} \Gamma^{(i)}_{sk}(A) X_{kl} \Gamma^{(j)}_{lt} (A^{-1}) = 0, \]

如果取 \(X_{kl} = \delta_{kp} \delta_{lq}\)，则有

\[\frac{1}{g} \sum_{A\in G} \Gamma^{(i)}_{sp} (A) \Gamma^{(j)}_{qt} (A^{-1}) = 0, \]

即

\[\sum_{A\in G} \Gamma^{(i)}_{sp} (A) (\Gamma^{(j)})^*_{tq} (A) = 0, \]

即　\(l^2_i\)个g维群矢量，与另外 \(l^2_j\)　个 g　维群矢量互相正交。

2. 如果\(i=j\)，即\(\forall A \in G\)，\(\Gamma^{(i)} M = M \Gamma^{(i)}\)，根据 Shur 引理1，\(M=0\)或\(M=cE\)。即

\[ M = \frac{1}{g} \sum_{A \in G} \Gamma^{(i)}(A) X \Gamma^{(i)}(A^{-1}) = 0 ~or~ cE. \]

另外，根据\(M\)的形式，有

\[ trace(M) = \frac{1}{g} \sum_{A \in G} trace(X) = trace(X). \]

1. 若取 \(X_{pq} = \delta_{pm} \delta_{qn}, m \neq n\)，则有 \(trace(M) = 0\)，即 \(M\)　必为0。
   即\(\forall s,t\)，

\[ M_{st} = \frac{1}{g} \sum_{A \in G} \Gamma^{(i)}_{sm} (A) \Gamma^{(i)*}_{tn} (A) = 0. \]

即 \(l^2_i\) 个\(g\)维矢量两两正交。

2. 若取 \(X_{pq} = a \delta_{pm} \delta_{qm}\)，则有 \(trace(M) = a, M = \frac{a}{l_i} E\)，则有\(\forall s\),

\[ M_{ss} = \frac{a}{g} \sum_{A \in G} \Gamma^{(i)}_{sm} (A) \Gamma^{(i)*}_{sm} (A) = \frac{a}{l_i}, \]

即

\[ \sum_{A \in G} \Gamma^{(i)}_{sm} (A) \Gamma^{(i)*}_{sm} (A) = \frac{g}{l_i}. \]

综合以上所述，有

\[\sum_{A \in G} \Gamma^{(i)}_{sm}(A) \Gamma^{(j)*}_{tn} (A) = \delta_{ij} \delta_{st} \delta_{mn} \frac{g}{l_i}. \]

待续：特征标的正交关系，不可约幺正表示个数的限制。