群论基础(1)：群的定义

我有一定概率在2023年上研究生的《群论》课。这个概率较小，但我不妨整理点笔记，做点准备。
群论体现了人类史上伟大的洞察力和天才的想象力。而且它并不难，就是要慢慢整理整理。

我真希望有一天，人能发现新的表述语言，让复杂的东西显得简单。因为我相信，在遥远的外星球，或许存在一些外星人。一定有一些东西对我们是复杂的，对他们却是简单的；有一些东西对我们是简单的，对他们反而是复杂的；这是因为任何一种表述语言和认知思维都有惯性，就像《庄子》中描述的混沌，这种惯性是知识的irony。所以，如果能发现新的表述语言，让复杂的东西显得简单，那么就绝不是新瓶装旧酒，而是美丽新发现。

1.引入

1.1 雪花的对称性

如图所示，这是一片雪花。为何雪花带给我们美感？如果抛开诗词歌赋带给我们的联想，我们是否还会认为它有美感？
也许会，也许不会。但我们能感受到这种晶莹剔透，这种晶莹剔透带给我们纯洁的感觉。
除此以外，我们也许还会注意到，它的结构是高度对称的。旋转 60度、120度、180度、240度、300度、360度，都会与自身几乎重合。
那么，如何用数学的语言，精确而简洁地刻画这种旋转对称性？
答案是6阶循环群：$\{ E, C^1_6, C^2_6, \cdots, C^5_6 \}$。（逐一解释每个符号）
这是一个非常抽象的记号。为何说抽象？因为它并不依赖于雪花的具体形状，下面还有 21 种雪花，都符合 6 阶循环群的描述。

此外，动画片的六芒星魔法阵也符合六阶循环群。

1.2 镜面对称

镜子外面的每一个细微之处，都会精确地显示在镜子中。
如何用数学的语言，精确地描述这种反射对称性？
答案是 2 阶群：$\{ E, \sigma \}$（逐一解释每个符号）。
这个符号也是抽象的，因为它不仅可以描述镜面对称，还可以描述空间反演对称性。

1.3 小结

六阶循环群$\{ E, C^1_6, C^2_6, \cdots, C^5_6 \}$揭示了雪花的六阶循环对称性，二阶群揭示了镜面反射对称性。
这两个群抽象出的仅仅是对称性，而忽略了雪花的具体形态，也忽略了镜中少女的容颜。
正因为这种高度的抽象，它具有普适性，可以适用于任何具有6阶旋转对称、或二阶反演对称的对象。

后面的内容先写个纲要，有空了就扩充扩充。

2. 群的定义

1. 封闭性

2）“乘法”结合律

3）单位元

4）逆元

阿贝尔群，有限群，有限群的阶，连续群，无限不连续群，对称群（物理系统）

例：整数加法、非0实数乘法、2维转动群、空间反演群、非奇异矩阵

3. 置换群

1）置换群定义:
$$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \ p_1 & p_2 & p_3 & \cdots & p_n \end{array} \right) \end{equation}$$

2）置换用轮换、对换表达

置换一定可以用没有公共元素的轮换的乘积表达，比如
$$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{array} \right) = (135)(24) \end{equation}$$
轮换一定可以用对换的乘积表达，比如
$$\begin{equation} (1234) = (234)(14) \end{equation}$$
以此类推，
$$\begin{equation} (1234) = (234)(14) = (34)(24)(14) \end{equation}$$
所以，所有置换都可以用对换表达。

另外，对换$(ij)$和$(jk)$可以构造出$(ik)$，
$$\begin{equation} (ij)(jk)(ij) = (ik). \end{equation}$$
所以，相互独立的对换只有$n-1$个，可设为$(1,2),(2,3),\cdots,(n-1,n)$.
它们构成置换群$S_n$的生成元。

3）生成元、宇称（奇置换/偶置换）

4. 子群

例：{e, R(180°)} $\subset$ 二维转动群

5. 同构和同态

1. 同构

例：$C_{3v}$ 群和 $S_3$ 群同构

例：$S_4$的四个$S_3$子群同构

Caley定理：任何一个n阶有限群，都和置换群$S_n$的某一个子群同构。(unchecked)

！！！这说明置换群包括了所有有限群

2. 同态

例：$S_2$ 同态于$C_{3v}$

$\{ e, C_3, C^2_3 \} \rightarrow e$；$\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \} \rightarrow (12)$.

6 共轭元素类

共轭（相似）元素

类

例：$C_{3v}$群中的类

ambivalent 类：包含类中元素的逆元

置换群的类(unchecked)

7 陪集，Lagrange定理

Lagrange定理：群G的阶g必为其子群H的阶h的整数倍：$g = mh, m \in Z^+$.

8 不变子群 商群

不变子群：它的任一左陪集 = 相应右陪集

单纯群：不包含不变子群

半纯群：不包含阿贝尔不变子群

商群：若G存在不变子群H,则可以把G划分为$\{ H, a_2 H, \cdots, a_m H \}$，将其中每个陪集看作一个元素，构成一个与G同态的群，叫做商群 G/H。