Ising模型的Metropolis模拟中的组态阻塞和振荡
Ising模型哈密顿量为
\[\hat{H} = - J \sum_{i,j相邻} s_i s_j - B \sum_i s_i
\]
若取 \(J=1, B=0\)，做 4 x 4 一共 16 个 spin 的 Ising 模型模拟，可以得到很平缓的相变曲线，如下图
曲线最左侧有些点低于低于1.0，增大 Markov 链的根数，增大链的长度，都没有改善这一点。所以仔细输出中间结果仔细观察了一下，发现温度特别低的时候存在一些有趣的（不好的）情况。
1. 组态阻塞
做统计模拟的人大概喜欢叫做微观状态，我习惯了组态这个词，就这么用了。如果 Markov 链产生如下组态
----
++++
++++
----
那么，翻转任何一个spin，都会导致体系能量上升。所以这实际上是一个模型的亚稳态，在温度较低的时候，e.g. kT=0.1，接受概率是 \(e^{-2/0.1} = 2e-9\)，所以翻不过去，形成阻塞。这样的组态比基态能量高很多，按照Metropolis模拟的思想，这样的组态出现概率理应极低。但是，因为低温下的阻塞，这样的组态以过大的比例出现在最终统计中，Metropolis模拟的精神得不到体现。
2. 组态振荡
最低能组态 E = -32，下面这些 E = -8 的组态在低能下会不断循环。
组态1：
-++-
++++
++-+
----
组态2：
++-+
++-+
+---
++-+
组态3:
++++
+-++
---+
+-++
组态4:
+-++
----
+-++
++++
组态5:
-++-
--++
-+++
-++-
组态6:
----
-++-
+++-
++--
3. 总结
总而言之，4 x 4 的格子做低温 kT/J = 0.1, ..., 0.5 的时候，会有阻塞和循环现象，导致结果中有些非物理的内容。
自然有如下问题：
- 更大的格子上有没有类似的现象？我猜是有。
- 一个重要的问题是，不同能量的组态数时怎么样的？或者说，态密度是怎么样的？这个问题的答案对于 Ising Model 的结果无疑是很重要的。
