Bruno Zumino, "Normal Forms of Complex Matrices", Journal of Mathematical Physics 3, 1055 (1962)
有了 Gantmacher 的书（前两篇随笔摘录的内容），Bruno Zumino 的这篇文章很容易 follow，矩阵部分的数学可能个把两个小时就跟着推完了。还有一点关于量子场论的内容，我看不懂，暂时也不需要。
网上查了一下，Bruno Zumino 是超弦理论的提出者之一！没想到和这么重要的人面对同样的数学问题，看来即使是大人物，也得认认真真推这些东西，公式面前人人是平等的。没有人可以和一个定理争论。
1. 两个引理
1.1 引理一：任意幺正、反对称复矩阵 \(S = U F U^\top\)，\(U\) 为幺正阵，\(F = \{ [\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}], [\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}], \cdots \}\)
证明：
- 因为 \(S\) 幺正，所以 \(S^{-1} = S^\dagger\)，而 \(S^\top = - S\)，所以 \(S^{-1} = S^\dagger = - S^*\)，\(S\) 与 \(S^*\) 对易。
- 所以 \(A_1 = S + S^*, A_2 = i(S- S^*)\) 是互相对易的反对称实数矩阵，所以可以通过同一套正交归一基变换为反对称正则形式。
- \(S = \frac{1}{2}( i A_1 + A_2 )\)，所以\(S\)也变换为反对称正则形式，只是变换之后矩阵元是复数。
- 另外，因为 \(S\) 还是幺正的，所以，可以通过计算表明，它变换为反对称正则形式以后，矩阵元模为1：
- 所以可以再构造一个幺正矩阵\(V = V^\top = \{ e^{i\alpha/2}, e^{i\alpha/2}, \cdots, \}\)，得到 \(S = QVFV^\top Q^\top\)，命题得证。
所以，这里使用了 Gantmacher 书上关于对易正规实矩阵的定理，得到 \(Q\) 这个实正交变换，然后再通过幺正性，得到一个复对角正交变换 \(V\)，得到 \(U = QV\)，从而证明引理。
1.2 引理二：任意幺正、对称复矩阵 \(S = U U^\top\)，\(U\) 为幺正矩阵
上一篇随笔里有个定理，任意幺正对称复矩阵 \(S = e^{i \eta}\)，\(\eta\) 为实对称矩阵，所以 \(U = e^{i\eta/2}\) 即可。
2. 三个定理
2.1 定理1：任意反对称复矩阵 \(M = U X U^\top\)，其中 \(U\) 为幺正矩阵，\(X\) 为正则形式反对称实矩阵：\(\{ [\begin{smallmatrix} 0 & -\mu \\ \mu & 0 \end{smallmatrix}], \cdots, \}\) 且所有 \(\mu >=0\)。
2.2 定理2: 任意对称复矩阵 \(M = U X U^\top\)，其中 \(U\) 为幺正矩阵，\(X\) 为对角实矩阵：\(\{ e_1, e_2, \cdots, \}\) 且所有 \(e >=0\)。
证明：构造 \(H = M^\dagger M = \mp M^* M\)，\(\mp\) 对应定理1和定理2两种情况。它是厄米、半正定的，所以一定可以通过幺正变换进行实对角化：\(\mp V M^* M V^\dagger = H_d\)，\(H_d\)是半正定的。定义 \(M_1 = V^* M V^\dagger\)，则 \(M^\top_1 = \mp M_1\)，且有 \(\mp V M^* M V^\dagger = \mp M^*_1 M_1 = M^\dagger_1 M_1 = H_d = H_d^* = \mp M_1 M^*_1\)，那么，\(M_1 H_d = H_d M_1\)。
所以有 \((M_1)_{ik} d_k = d_i (M_1)_{ik}\)，对于 \(d_i \neq d_k\)得到 \((M_1)_{ik} =0\)，对于 \(d_i = d_k\)，可以得到 \(M_1\) 中的反对称子矩阵 \(\Psi\)，有 \(\Psi ^\dagger \Psi = d_i E\)，稍作处理即得反对称/对称幺正矩阵 \(d^{-1/2}_i \Psi\) ，根据引理1，引理2可得 \(d^{-1/2}_i \Psi = U F U^\top\)，即 \(\Psi = U (d^{1/2}_i F) U\)， 或者 \(d^{-1/2}_i \Psi = U U^\top\)，即 \(\Psi = U (d^{1/2}_i E) U\)。再把 \(V\) 变换乘上，定理1，定理2得到证明。
这个技巧很值得学习，先通过 \(M^\dagger M\) 构造厄米矩阵，得到对角形式，然后再通过 \(M_1 H_d = H_d M_1\) 得到 \(M_1\) 结构的讨论。
2.3 定理3: 任意复矩阵 \(M = UXV\)，\(U,V\)为幺正矩阵，\(X\)是实对角半正定阵。
证明：因为 \(M^\dagger M\) 是厄米、半正定的，所以有 \(M^\dagger M = S H_d S^\dagger\)，记 \((M^\dagger M)^{-1/2} = S H^{-1/2}_d S^\dagger\)，则有 \((M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger\) 是幺正的。
另外，\(M(M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger\) 是厄米、半正定的，所以存在 \(U\)，使得 \(U^\dagger M(M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger U=X\) 是实对角半正定阵。取 \(V^\dagger = (M^\dagger M)^{-1/2} M^\dagger U\)，即得
命题得证。
