复数矩阵的指数表示
参考书：F. R. Gantmacher 《The Theory of matrices》Vol. 2
1. 厄米、正交矩阵 \(G = I e^{iK}\)，\(I\) 为实对称对合矩阵，\(K\)为实反对称矩阵，\(I,K\)对易。
设实矩阵 \(S,T\) 满足 \(G = S + iT\)，因为 \(G\) 是厄米，所以有
\[S^\top - i T^\top = S + i T, \Rightarrow S 对称，T 反对称
\]
因为 \(G\) 是正交阵，所以有
\[E = ( S + i T ) (S - i T) = S^2 + T^2 + i (TS - ST ), \Rightarrow S,T对易，S^2 + T^2 = E
\]
因为实数阵 \(S,T\) 是对易的正规算子，所以有正交归一基，在该基下，\(S\) 对应实数对角阵，\(T\) 对应反对称的实数正则矩阵。因为 \(S^2 + T^2 = E\)，所以在正则矩阵的每个 \(2\times 2\) 的分块中，
\[S = Q [ \begin{smallmatrix} \mu & 0 \\ 0 & \mu \end{smallmatrix} ] Q^\top, T = Q[ \begin{smallmatrix} 0 & \nu \\ -\nu & 0 \end{smallmatrix} ]Q^\top,
\]
有 \(\mu^2 - \nu^2 = 1\)，那些单个的实数特征值则绝对值为 \(1\)，另外，
\[\epsilon e^{ i[ \begin{smallmatrix} 0 & \varphi \\ -\varphi & 0 \end{smallmatrix} ] } = \epsilon [ \begin{smallmatrix} cosh \varphi & i sinh \varphi \\ -i sinh \varphi & cosh \varphi \end{smallmatrix} ],
\]
所以取 \(\mu = \epsilon cosh \varphi, \epsilon = \pm 1, \epsilon sinh \varphi = \nu\) 即可。
所以，\(G = I e^{iK}\)，
\[I = diag\{ \epsilon_1, \epsilon_1, \cdots \}, ~~ K = Q\{ [ \begin{smallmatrix} 0 & \varphi_1 \\ -\varphi_1 & 0 \end{smallmatrix} ], [ \begin{smallmatrix} 0 & \varphi_2 \\ -\varphi_2 & 0 \end{smallmatrix} ], \cdots \}Q^\top。
\]
显然 \(I\) 是对合阵，\(I,K\)对易。
2. 厄米、正交、正定矩阵\(G\)
多一个正定条件，则\(G\)的特征值都是正的，那么可以计算得到，所有 \(\epsilon = 0\), \(G\) 的特征值为 \(e^{\pm \varphi_1}, \cdots, 1, 1, \cdots\)，上式中 \(I = E\)。
3. 任意复数的正交矩阵 \(Q= R e^{iK}\)，其中 \(R\) 是实数正交矩阵，\(K\) 是实数反对称矩阵
- 因为 \(Q\) 是正交阵，即 \(Q^\top Q = Q Q^\top = E\)，所以构造 \(Q^\dagger Q\)，既是厄米的，也是正交的，也是正定的，所以有 \(Q^\dagger Q = e^{iK}\), \(K\)是反对易正则形式，如 #1 中所示。
- 假设 \(Q = R e^{iK/2}\), 则有 \(R = Q e^{-iK/2}\)，可以检验，\(R\) 是幺正、正交阵，即实数正交阵，而 \(K\) 是实数反对称阵，所以得证。
这个定理的形式非常妙！就像复数的指数形式一样！
4. 对称、幺正矩阵 \(D = e^{iS}\)，\(S\) 是一个实对称矩阵
证明省略。
5. 任意幺正矩阵 \(U = Re^{iS}\)，\(R\)是实正交阵，\(S\)是实对称阵。
证明省略。这两个定理的证明都非常类似于上面记录的过程。
