正规算子的谱

参考书：F. R. Gantmacher 《The Theory of Matrices》Vol. 1

1. 伴随算子(adjoint operator)

我把伴随算子记作 $A^\dagger$，因为它对应着量子力学书里的厄米算子：

$$(A \vec{x}, \vec{y} ) = ( \vec{x}, A^\dagger \vec{y}),$$

显然，$A$ 的伴随算子的矩阵表示，就是矩阵 $A$ 的幺正矩阵 $A^\dagger$。

1.1 如果线性空间 $S$ 是 $A$ 的不变子空间，那么 $S$ 的补空间 $T$ 一定是 $A^\dagger$ 的不变子空间。

$\forall \vec{x} \in S, \vec{y} \in T$，都有 $A \vec{x} \in S$，即

$$( \vec{y}, A \vec{x} ) = 0,$$

而

$$(\vec{y}, A\vec{x}) = ( A^\dagger \vec{y}, \vec{x} ) =0,$$

即 $A^\dagger \vec{y} \notin S$，即 $A^\dagger \vec{y} \in T$，即 $T$ 为 $A^\dagger$ 的不变子空间。

2. 正规算子(normal operator)

正规算子即满足 $A A^\dagger = A^\dagger A$ 的算子 $A$，显然，厄米算符、幺正算符都是正规算子。

2.1 对易的算子一定有共同本征矢

任意两个对易的算子都一定有共同的本征矢。教材思路是通过不变子空间来论证。
若 $AB = BA$，且 $A\vec{x} = \lambda \vec{x}$，则有

$$AB^k \vec{x} = B^kA\vec{x}.$$

所以一定存在 $A$ 的不变子空间 $\{ \vec{x}, B\vec{x}, \cdots, B^{p-1} \vec{x} \}$，$B^{p}\vec{x}$是这些矢量的线性表达。
显然这个不变子空间也是 $B$ 的不变子空间，所以（？）其中一定存在 $B$ 的特征矢量 $\vec{y}$，它也是 $A$ 的特征矢量，

$$A \vec{y} = \lambda \vec{y}.$$

2.2 正规算子 $A$ 一定与 $A^\dagger$ 有共同的本征矢，且相应的本征值互为复共轭。

• 因为 $A$ 与 $A^\dagger$ 对易，所以它们一定有共同本征矢，设为 $\vec{x}$，设有 $A\vec{x} = \lambda \vec{x}, A^\dagger \vec{x} = \mu \vec{x}$，则有$(\vec{x}, A\vec{x}) = \lambda = (A^\dagger \vec{x}, \vec{x}) = (\vec{x}, A^\dagger \vec{x})^* = \mu^*$。
• 用这个共同本征矢如上述构造不变子空间$S = \{ \vec{x}, A\vec{x}, \cdots \}$，它是 $A, A^\dagger$ 的共同不变子空间，根据1.1的论证，$S$ 的补集 $T$ 也同时是 $A, A^\dagger$ 的不变子空间，因为是不变子空间，所以一定存在 $A$ 的一个特征矢量，如2.1论证，拿着这个向量构造 $A,A^\dagger$ 在 $T$ 中的不变子空间，又可以得到 $A,A^\dagger$ 的共同本征矢。
• 如此迭代，一定可以穷尽这个线性空间，得到 $A, A^\dagger$ 的共同的正交归一本征矢，本征值互为复共轭。

2.3 正规算子的不同本征值对应的本征向量一定互相正交

假如有 $A\vec{x} = \lambda \vec{x}, A\vec{y} = \mu \vec{y}, \lambda \neq \mu$，则有

$$(\vec{y}, A\vec{x}) = \lambda (\vec{y}, \vec{x}) = (A^\dagger \vec{y}, \vec{x}) = \mu (\vec{y}, \vec{x}),$$

所以有 $(\mu - \lambda)(\vec{y}, \vec{x}) = 0$，即 $(\vec{y}, \vec{x]}) = 0$，得证。

2.4 如果一个算子$A$有完整的特征向量，则一定是正规算子

若 $A\vec{x}_k = \lambda_k \vec{x}_k, (\vec{x}_i, \vec{x}_k) = \delta_{ik}$，假设

$$\vec{y}_l = A^\dagger \vec{x}_l - \bar{\lambda}_l \vec{x}_l,$$

则

$$\forall k, (\vec{y}_l, \vec{x}_k) = (\vec{x}_l, A \vec{x}_k) - \lambda_l (\vec{x}_l, \vec{x}_k) = (\lambda_k - \lambda_l)\delta_{kl} = 0.$$

因为 $\vec{x}_k$ 穷尽整个线性空间，所以可以断定 $\vec{y}_l = 0, A^\dagger \vec{x}_l = \bar{\lambda}_l \vec{x}_l$。
那么，对线性空间中的任意矢量 $\vec{p} = \sum_k c_k \vec{x}_k$, 有

$$A A^\dagger \vec{p} = \sum_k c_k | \lambda_k |^2 \vec{x}_k = A^\dagger A \vec{p},$$

所以 $AA^\dagger = A^\dagger A$，$A$ 是正规算子。

话说，存在没有完整特征向量的算子吗？

3. 欧几里得空间中的线性算子

• 在欧几里得空间$R$中，可以定义转置算子$A^\top$, s.t. $\forall \vec{x}, \vec{y}, (A\vec{x}, \vec{y} ) = (\vec{x}, A^\top \vec{y})$。
• 然后，在此基础上定义正规算子：$A A^\top = A^\top A$。
• 对称算子： $A^\top = A$；反对称算子：$A^\top = -A$。
• 还可以定义正交算子：$Q^\top Q = E$。
• 显然，对称、反对称、正交算子都是正规算子

3.1 欧几里得空间中的线性算子在复数矢量空间中的谱

问题：复数矢量空间 $\vec{z} = \vec{x} + \vec{y}$ 的维数也是 $n$ 吗？（未回答）

实数矩阵的特征方程 $P_n(\lambda)=0$ 系数都是实数，若存在 $\lambda_k$ 使得 $P_n(\lambda_k) = 0$，则必有 $\bar{P}_n(\lambda_k) = P_n(\bar{\lambda_n}) = 0$，所以实数矩阵的特征值一定要么是实数，要么是成对出现的互为共轭的复数：

$$\{ \cdots, \mu_k + i\nu_k, \mu - i \nu_k, \cdots, \mu_l, \cdots \},~~ k = 1,2,\cdots,q;~~ l=2q+1,\cdots, n$$

若 $A \vec{z} = \lambda \vec{z}$，则 $A \vec{\bar{z}} = \bar{\lambda} \vec{ \bar{z}}$，所以特征值也是复共轭成对出现。

$$\vec{z}_{2k-1} = \vec{x}_k + i \vec{y}_k, ~~ A\vec{z}_{2k-1} = (\mu_k + i \nu_k) \vec{z}_{2k-1}; \\ \vec{z}_{2k} = \vec{x}_k - i \vec{y}_k, ~~ A\vec{z}_{2k} = (\mu_k - i \nu_k) \vec{z}_{2k}.$$

推得

$$A \vec{x}_k = \mu_k \vec{x}_k - \nu_k \vec{y}_k, ~~ A\vec{y}_k = \nu_k \vec{x}_k + \mu_k \vec{y}_k, ~~ k = 1,2,\cdots,q$$

如果定义矢量内积为

$$(\vec{z}, \vec{w}) = \overline{\vec{z}} \cdot \vec{w} = (\vec{x} - i \vec{y}) \cdot ( \vec{u} + i \vec{v} ) = (\vec{x}\cdot\vec{u} + \vec{y}\cdot \vec{v}) +i ( \vec{x}\cdot \vec{v} - \vec{y} \cdot \vec{u} ).$$

GantMacher 定义的是 $(\vec{z}, \vec{w}) = \vec{z} \cdot \overline{ \vec{w} }$，但这个差别不应该影响任何重要结论，我写上面的约定是因为习惯了这种内积定义式。

3.2 欧几里得空间中的正规算子

$R$ 空间中的正规算子 $A$ 有 $A^\top A = A A^\top$，类似于 #2 中的论证可以得到，正规算子 $A$ 与 $A^\top$ 有共同的本征矢，互为共轭的本征值。根据 2.3 中的推断，$\{ \vec{z}_1, \vec{z}_2, \cdots, \vec{z}_{2q-1}, \vec{z}_{2q}, \vec{x}_{2q+1}, \cdots, \vec{x}_{n} \}$ 两两正交，所以归一化以后是一个正交归一基。
$\vec{z}_{2k-1}, \vec{z}_{2k}$正交，即

$$(\vec{z}_{2k-1}, \vec{z}_{2k}) = \vec{x}_k \cdot \vec{x}_k - \vec{y}_k \cdot \vec{y}_k - i ( \vec{y}_k \cdot \vec{x}_k + \vec{x}_k \cdot \vec{y}_k ) = 0,$$

得到结论：$\vec{x}_k, \vec{y}_k$ 正交归一。
所以，$\{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \cdots, \vec{x}_{q}, \vec{y}_{q}, \vec{x}_{2q+1}, \vec{x}_{2q+2}, \cdots, \vec{x}_{n} \}$也是正交归一基。用这些正交归一基构造矩阵

$$Q = [ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \cdots, \vec{x}_{q}, \vec{y}_{q}, \vec{x}_{2q+1}, \vec{x}_{2q+2}, \cdots, \vec{x}_{n} ],$$

则有

$$Q^\top A Q = \{ [\begin{smallmatrix} \mu_1 & \nu_1 \\ -\nu_1 & \mu_1 \end{smallmatrix}], ..., [\begin{smallmatrix} \mu_q & \nu_q \\ -\nu_q & \mu_q \end{smallmatrix}], \mu_{2q+1}, \cdots, \mu_n \},$$

这叫做正则形式(canonical form)。

3.3 对称算子、反对称算子

欧几里得空间 $R$ 中的对称算子在拓展的 $\tilde{R} = \vec{x} + i \vec{y}$ 中是厄米算子，所以所有本征值都是实数，$\nu_k = 0$，所以能通过正交变换得到对角阵。
欧几里得空间 $R$ 中的反对称算子乘以 $i$ 以后是对称算子，在拓展的 $\tilde{R} = \vec{x} + i \vec{y}$ 中是厄米算子，所以所有本征值都是实数，所以反对称算子的所有本征值都是纯虚数，$\mu_k = 0$，所以能通过正交变换得到正则反对称阵。
后面有一段特别漂亮，是利用这些代数结论，说明欧拉-达朗贝尔定理：三维空间中任何一个定点有限转动都是绕某个轴的一个定轴转动。但是我懒得打了，下次有兴趣再来整理。

根据上面这些关于欧几里得空间正规算子的讨论，结合前面关于对易算子、正规算子的谱的讨论，可以得到一个相当清晰的结论：在欧几里得空间中，若有一些（任意多，毕竟线性无关的维数 $\leq n^2$）正规算子两两对易，则它们都有共同的正交归一实数本征矢，在这些矢量构成的正交变换下，全部变换为正则形式。