正规算子的谱

参考书：F. R. Gantmacher 《The Theory of Matrices》Vol. 1

1. 伴随算子(adjoint operator)

我把伴随算子记作 \(A^\dagger\)，因为它对应着量子力学书里的厄米算子：

\[(A \vec{x}, \vec{y} ) = ( \vec{x}, A^\dagger \vec{y}), \]

显然，\(A\) 的伴随算子的矩阵表示，就是矩阵 \(A\) 的幺正矩阵 \(A^\dagger\)。

1.1 如果线性空间 \(S\) 是 \(A\) 的不变子空间，那么 \(S\) 的补空间 \(T\) 一定是 \(A^\dagger\) 的不变子空间。

\(\forall \vec{x} \in S, \vec{y} \in T\)，都有 \(A \vec{x} \in S\)，即

\[( \vec{y}, A \vec{x} ) = 0, \]

而

\[(\vec{y}, A\vec{x}) = ( A^\dagger \vec{y}, \vec{x} ) =0, \]

即 \(A^\dagger \vec{y} \notin S\)，即 \(A^\dagger \vec{y} \in T\)，即 \(T\) 为 \(A^\dagger\) 的不变子空间。

2. 正规算子(normal operator)

正规算子即满足 \(A A^\dagger = A^\dagger A\) 的算子 \(A\)，显然，厄米算符、幺正算符都是正规算子。

2.1 对易的算子一定有共同本征矢

任意两个对易的算子都一定有共同的本征矢。教材思路是通过不变子空间来论证。
若 \(AB = BA\)，且 \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}\)，则有

\[AB^k \vec{x} = B^kA\vec{x}. \]

所以一定存在 \(A\) 的不变子空间 \(\{ \vec{x}, B\vec{x}, \cdots, B^{p-1} \vec{x} \}\)，\(B^{p}\vec{x}\)是这些矢量的线性表达。
显然这个不变子空间也是 \(B\) 的不变子空间，所以（？）其中一定存在 \(B\) 的特征矢量 \(\vec{y}\)，它也是 \(A\) 的特征矢量，

\[A \vec{y} = \lambda \vec{y}. \]

2.2 正规算子 \(A\) 一定与 \(A^\dagger\) 有共同的本征矢，且相应的本征值互为复共轭。

• 因为 \(A\) 与 \(A^\dagger\) 对易，所以它们一定有共同本征矢，设为 \(\vec{x}\)，设有 \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}, A^\dagger \vec{x} = \mu \vec{x}\)，则有\((\vec{x}, A\vec{x}) = \lambda = (A^\dagger \vec{x}, \vec{x}) = (\vec{x}, A^\dagger \vec{x})^* = \mu^*\)。
• 用这个共同本征矢如上述构造不变子空间\(S = \{ \vec{x}, A\vec{x}, \cdots \}\)，它是 \(A, A^\dagger\) 的共同不变子空间，根据1.1的论证，\(S\) 的补集 \(T\) 也同时是 \(A, A^\dagger\) 的不变子空间，因为是不变子空间，所以一定存在 \(A\) 的一个特征矢量，如2.1论证，拿着这个向量构造 \(A,A^\dagger\) 在 \(T\) 中的不变子空间，又可以得到 \(A,A^\dagger\) 的共同本征矢。
• 如此迭代，一定可以穷尽这个线性空间，得到 \(A, A^\dagger\) 的共同的正交归一本征矢，本征值互为复共轭。

2.3 正规算子的不同本征值对应的本征向量一定互相正交

假如有 \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}, A\vec{y} = \mu \vec{y}, \lambda \neq \mu\)，则有

\[(\vec{y}, A\vec{x}) = \lambda (\vec{y}, \vec{x}) = (A^\dagger \vec{y}, \vec{x}) = \mu (\vec{y}, \vec{x}), \]

所以有 \((\mu - \lambda)(\vec{y}, \vec{x}) = 0\)，即 \((\vec{y}, \vec{x]}) = 0\)，得证。

2.4 如果一个算子\(A\)有完整的特征向量，则一定是正规算子

若 \(A\vec{x}_k = \lambda_k \vec{x}_k, (\vec{x}_i, \vec{x}_k) = \delta_{ik}\)，假设

\[\vec{y}_l = A^\dagger \vec{x}_l - \bar{\lambda}_l \vec{x}_l, \]

则

\[\forall k, (\vec{y}_l, \vec{x}_k) = (\vec{x}_l, A \vec{x}_k) - \lambda_l (\vec{x}_l, \vec{x}_k) = (\lambda_k - \lambda_l)\delta_{kl} = 0. \]

因为 \(\vec{x}_k\) 穷尽整个线性空间，所以可以断定 \(\vec{y}_l = 0, A^\dagger \vec{x}_l = \bar{\lambda}_l \vec{x}_l\)。
那么，对线性空间中的任意矢量 \(\vec{p} = \sum_k c_k \vec{x}_k\), 有

\[A A^\dagger \vec{p} = \sum_k c_k | \lambda_k |^2 \vec{x}_k = A^\dagger A \vec{p}, \]

所以 \(AA^\dagger = A^\dagger A\)，\(A\) 是正规算子。

话说，存在没有完整特征向量的算子吗？

3. 欧几里得空间中的线性算子

• 在欧几里得空间\(R\)中，可以定义转置算子\(A^\top\), s.t. \(\forall \vec{x}, \vec{y}, (A\vec{x}, \vec{y} ) = (\vec{x}, A^\top \vec{y})\)。
• 然后，在此基础上定义正规算子：\(A A^\top = A^\top A\)。
• 对称算子： \(A^\top = A\)；反对称算子：\(A^\top = -A\)。
• 还可以定义正交算子：\(Q^\top Q = E\)。
• 显然，对称、反对称、正交算子都是正规算子

3.1 欧几里得空间中的线性算子在复数矢量空间中的谱

问题：复数矢量空间 \(\vec{z} = \vec{x} + \vec{y}\) 的维数也是 \(n\) 吗？（未回答）

实数矩阵的特征方程 \(P_n(\lambda)=0\) 系数都是实数，若存在 \(\lambda_k\) 使得 \(P_n(\lambda_k) = 0\)，则必有 \(\bar{P}_n(\lambda_k) = P_n(\bar{\lambda_n}) = 0\)，所以实数矩阵的特征值一定要么是实数，要么是成对出现的互为共轭的复数：

\[\{ \cdots, \mu_k + i\nu_k, \mu - i \nu_k, \cdots, \mu_l, \cdots \},~~ k = 1,2,\cdots,q;~~ l=2q+1,\cdots, n \]

若 \(A \vec{z} = \lambda \vec{z}\)，则 \(A \vec{\bar{z}} = \bar{\lambda} \vec{ \bar{z}}\)，所以特征值也是复共轭成对出现。

\[\vec{z}_{2k-1} = \vec{x}_k + i \vec{y}_k, ~~ A\vec{z}_{2k-1} = (\mu_k + i \nu_k) \vec{z}_{2k-1}; \\ \vec{z}_{2k} = \vec{x}_k - i \vec{y}_k, ~~ A\vec{z}_{2k} = (\mu_k - i \nu_k) \vec{z}_{2k}. \]

推得

\[A \vec{x}_k = \mu_k \vec{x}_k - \nu_k \vec{y}_k, ~~ A\vec{y}_k = \nu_k \vec{x}_k + \mu_k \vec{y}_k, ~~ k = 1,2,\cdots,q \]

如果定义矢量内积为

\[(\vec{z}, \vec{w}) = \overline{\vec{z}} \cdot \vec{w} = (\vec{x} - i \vec{y}) \cdot ( \vec{u} + i \vec{v} ) = (\vec{x}\cdot\vec{u} + \vec{y}\cdot \vec{v}) +i ( \vec{x}\cdot \vec{v} - \vec{y} \cdot \vec{u} ). \]

GantMacher 定义的是 \((\vec{z}, \vec{w}) = \vec{z} \cdot \overline{ \vec{w} }\)，但这个差别不应该影响任何重要结论，我写上面的约定是因为习惯了这种内积定义式。

3.2 欧几里得空间中的正规算子

\(R\) 空间中的正规算子 \(A\) 有 \(A^\top A = A A^\top\)，类似于 #2 中的论证可以得到，正规算子 \(A\) 与 \(A^\top\) 有共同的本征矢，互为共轭的本征值。根据 2.3 中的推断，\(\{ \vec{z}_1, \vec{z}_2, \cdots, \vec{z}_{2q-1}, \vec{z}_{2q}, \vec{x}_{2q+1}, \cdots, \vec{x}_{n} \}\) 两两正交，所以归一化以后是一个正交归一基。
\(\vec{z}_{2k-1}, \vec{z}_{2k}\)正交，即

\[(\vec{z}_{2k-1}, \vec{z}_{2k}) = \vec{x}_k \cdot \vec{x}_k - \vec{y}_k \cdot \vec{y}_k - i ( \vec{y}_k \cdot \vec{x}_k + \vec{x}_k \cdot \vec{y}_k ) = 0, \]

得到结论：\(\vec{x}_k, \vec{y}_k\) 正交归一。
所以，\(\{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \cdots, \vec{x}_{q}, \vec{y}_{q}, \vec{x}_{2q+1}, \vec{x}_{2q+2}, \cdots, \vec{x}_{n} \}\)也是正交归一基。用这些正交归一基构造矩阵

\[Q = [ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \cdots, \vec{x}_{q}, \vec{y}_{q}, \vec{x}_{2q+1}, \vec{x}_{2q+2}, \cdots, \vec{x}_{n} ], \]

则有

\[Q^\top A Q = \{ [\begin{smallmatrix} \mu_1 & \nu_1 \\ -\nu_1 & \mu_1 \end{smallmatrix}], ..., [\begin{smallmatrix} \mu_q & \nu_q \\ -\nu_q & \mu_q \end{smallmatrix}], \mu_{2q+1}, \cdots, \mu_n \}, \]

这叫做正则形式(canonical form)。

3.3 对称算子、反对称算子

欧几里得空间 \(R\) 中的对称算子在拓展的 \(\tilde{R} = \vec{x} + i \vec{y}\) 中是厄米算子，所以所有本征值都是实数，\(\nu_k = 0\)，所以能通过正交变换得到对角阵。
欧几里得空间 \(R\) 中的反对称算子乘以 \(i\) 以后是对称算子，在拓展的 \(\tilde{R} = \vec{x} + i \vec{y}\) 中是厄米算子，所以所有本征值都是实数，所以反对称算子的所有本征值都是纯虚数，\(\mu_k = 0\)，所以能通过正交变换得到正则反对称阵。
后面有一段特别漂亮，是利用这些代数结论，说明欧拉-达朗贝尔定理：三维空间中任何一个定点有限转动都是绕某个轴的一个定轴转动。但是我懒得打了，下次有兴趣再来整理。

根据上面这些关于欧几里得空间正规算子的讨论，结合前面关于对易算子、正规算子的谱的讨论，可以得到一个相当清晰的结论：在欧几里得空间中，若有一些（任意多，毕竟线性无关的维数 \(\leq n^2\)）正规算子两两对易，则它们都有共同的正交归一实数本征矢，在这些矢量构成的正交变换下，全部变换为正则形式。