圆膜振动问题

鼓面振动就是一种圆膜振动。知了的发声也是靠腹部的薄膜振动。

1. 圆膜振动的解析结果

圆膜振动的数学物理方程、及其求解如下。

2. 圆膜振动的可视化

已知上面的解，可以用计算机编程，把不同模式的圆膜振动画成动图，甚至还可以带上声音。
对于给定的\(n,i\)，已经确定一个振动模式，

\[u_{ni} (r,\theta,t) = J_n( k^n_i r) [ E_{ni} cos( k^n_i a t + \phi_{ni} ) cos( n \theta ) + F_{ni} cos( k^n_i at + \varphi_{ni} ) sin( n\theta ) ] \]

可以更简单一点，只讨论

\[u_{ni} (r,\theta,t) = J_n( k^n_i r) cos( k^n_i a t + \phi_{ni} ) cos( n \theta )， \]

显而易见，\(J_n( k^n_i r) cos( n \theta )\) 决定了圆膜上各点的振幅，各点做简谐振动，谐振频率仅与 \(n,i\) 有关，

\[f = \frac{ \nu_{ni} }{ 2 \pi }. \]

然后写个循环画若干桢，变成动图，就可以比较形象地看到不同模式的鼓面振动了。