python画球谐函数

之前写过一个随笔，描述怎么用　gnuplot 绘制球谐函数图：https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14713231.html
其中提到，在画球谐函数这事上，python的缺点是图片不能旋转，图片小不够清楚华丽，代码细节多（其实也还好，多一点点）。
现在，真香定律显现，我发现，python的上述缺点确实存在，但是，gnuplot没有内置的球谐函数，得自己写，而我，懒得写了，所以还是（真香！）用python画吧，等有空了再自己写一个gnuplot内置的球谐函数，然后用pm3d画吧，gnuplot渲染得确实更好看。

1. 球谐函数定义

不同的书上有不同的约定，咱还是用 Condon-Shortley 相位约定，\(m\geq 0\) 时，定义如下：

\[Y^m_n(\theta,\phi) \equiv \epsilon \sqrt{ \frac{2n-1}{4\pi} \frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!} } P^{|m|}_n(\cos \theta) e^{im\phi}, \epsilon = \left\{ \begin{aligned} &(-1)^m, &m \geq 0, \\ &1, &else \end{aligned} \right. \]

其中，\((-1)^m\)即Condon-Shortley相因子，大概是为了方便做角动量代数的，连带勒让德函数定义为（Rodriguez公式）：

\[P^{m}_n(x) \equiv \frac{1}{2^n n!} (1-x^2)^{m/2} \frac{ d^{n+m} }{ d x^{n+m} } (x^2-1)^n. \]

这里球谐函数的定义与上一个帖子(https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14713231.html)是一致的，但是连带勒让德函数的定义略有不同。
写在这里只是方便参考，下面的代码没有使用这个式子，而是调用了 scipy.special.sph_harm。

2. 球谐函数的绘制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import special
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as axes3d

theta, phi = np.linspace(0, np.pi, 100), np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)
#help(special.sph_harm)
R = (special.sph_harm(2,3,PHI,THETA).real)**2
X = R * np.sin(THETA) * np.cos(PHI)
Y = R * np.sin(THETA) * np.sin(PHI)
Z = R * np.cos(THETA)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1,1,1, projection='3d')
plot = ax.plot_surface(
    X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap=plt.get_cmap('jet'),
    linewidth=0, antialiased=False, alpha=0.5)

# below are codes copied from stackoverflow, to make the scaling correct
max_range = np.array([X.max()-X.min(), Y.max()-Y.min(), Z.max()-Z.min()]).max() / 2.0
mid_x = (X.max()+X.min()) * 0.5
mid_y = (Y.max()+Y.min()) * 0.5
mid_z = (Z.max()+Z.min()) * 0.5
ax.set_xlim(mid_x - max_range, mid_x + max_range)
ax.set_ylim(mid_y - max_range, mid_y + max_range)
ax.set_zlim(mid_z - max_range, mid_z + max_range)

#ax.view_init(elev=30,azim=0) #调节视角，elev指向上(z方向)旋转的角度，azim指xy平面内旋转的角度

plt.show()

效果如上图所示。说明以下几点：

• plt.show() 上面的那一行，ax.view_init(...)可以调节观看者的视角
• 再往上一大段代码，是为了保证 xyz三个方向的坐标比例完全相同
• 再往上才是画图的核心代码，即在立体角各个角度取点，然后使用　plot_surface 函数绘制，其中有染色方案的参数，这部分代码是从网上找来以后自己改的。
• 如果需要保存图片，可以添加一行　plt.savefig("xx.jpg")，应该就行了。

综上所述，我在网上分别找了　plot_surface用法，球谐函数调用，scaling方案，视角变换，然后结合两本教材上球谐函数的相位约定（教材见下面），花了１个多小时实践操作总结，得到了这篇博客。亲爱的读者，它就这样来到你的面前。

3. 鸣谢

• D. J. Griffiths, "Introduction to Quantum Mechanics"，及郑州大学中文译本
• Arfken, Weber, "Mathmatical Methods for Physicists"