Vander Monde 行列式
1. 定义
范德蒙德行列式定义为：
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) \equiv
\left|
\begin{matrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x^2_1 & x^2_2 & \cdots & x^2_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & \cdots & x^{n-1}_n
\end{matrix}
\right|
\]
可以证明，范德蒙德行列式等于
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i>j} (x_i - x_j).
\]
2. 证明
行列式中一行加上另一行的倍数，整个行列式的值不变。这个可以目测得到，这里就不写证明了。利用这个结论，对 Vander Monde 行列式进行行变换：
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) =
\left|
\begin{matrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\
0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & (x_2 - x_1)x^{n-2}_2 & \cdots & (x_n-x_1)x^{n-2}_n
\end{matrix}
\right|\\
= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)
\left|
\begin{matrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x^2_2 & x^2_3 & \cdots & x^2_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x^{n-2}_2 & x^{n-2}_3 & \cdots & x^{n-2}_n
\end{matrix}
\right|，
\]
如此递推下去，即得
\[V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i>j}(x_i - x_j).
\]
3. 应用：置换群群元的奇偶性
若有置换群元
\[R = \begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
r_1 & r_2 & \cdots & r_n
\end{pmatrix},
\]
现在定义，R 作用在 Vande Monde 行列式上，使它变为
\[R V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = V(x_{r_1}, x_{r_2}, \cdots, x_{r_n})，
\]
上式右边是一个确定的值，而 \(R\) 若写成对换的连乘，由于每次对换给 Vander Monde 行列式添加一个负号，所以 \(R\) 的对换连乘形式中，对换个数的奇偶性一定是唯一的，不会因为对换形式（不唯一）的改变而改变。
