核结构中的投影技术

1. 回顾：角动量投影

之前写过一篇随笔，整理了角动量投影技术的推导：https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14586631.html
投影算符定义为

\[\hat{P}^J_{LK} | \Phi \rangle = \frac{ 2 J + 1 }{ 8 \pi^2 } \int D^{J *}_{ L K } ( \Omega ) \hat{R}(\Omega) | \Phi \rangle d \Omega = c_{JK} | J, K \rightarrow L \rangle. \]

本质上就是通过转动算符、D函数的正交性挑出一个组态中具有特定角动量的成分，然后用这些具有好 \(J\) 的组分构造基矢，进行近似对角化，解 Hill-Wheeler 方程得到能谱。

2. 两种方式

定义

\[H^J_{K'K} = \langle \Phi | \hat{H} | \hat{P}^J_{K'K} \Phi \rangle, ~~~~ N^J_{K'K} = \langle \Phi | \hat{P}^J_{K'K} \Phi \rangle, \]

则 Hill-Wheeler 方程为

\[\forall K', \sum_K H^J_{K'K} g^r_{JK} = \epsilon_{r,J} \sum_K N^J_{K'K} g^r_{JK}. \]

下面仅以 \(\langle \Psi | \hat{R}(\Omega) | \Psi \rangle \sim N^J_{KM}\) 为例，说明两种做法，\(\langle \Psi | \hat{H} \hat{R}(\Omega) | \Psi \rangle \sim H^J_{KM}\) 是同理。

2.1 积分做法 (Quadrature)

投影算符中的积分会取离散节点来实现，所以相当于

\[\sum_i \langle \Psi | \hat{R}(\Omega_i) | \Psi \rangle \omega_i D^J_{KM}(\Omega_i) = N^J_{KM}, \tag{1} \]

其中 \(\omega_i\) 是与积分相关的权重，在上式中，左侧 \(\langle \Psi | \hat{R}(\Omega_i) | \Psi \rangle \omega_i\)仅与 \(i\) 有关，\(D^J_{KM}(\Omega_i)\)既与 \(i\) 有关，也与 \((J,K,M)\) 有关，而右侧与 \(i\) 无关，所以上面实则是一个行、列标记为 $ (J,K,M) \times i $ 的矩阵乘以标记为 \(i\) 的列矢量，得到一个下标为 \((J,K,M)\) 的列矢量。

\[A_{(JKM), i} \vec{x}_i = \vec{y}_{(JKM)}, \]

已知 \(A, \vec{x}\)，求取 \(\vec{y}\)。

2.2 线性代数做法 (LAP: Linear Algebra Projection)

见参考文献：
[1] Calvin W. Johnson and Keven D. O'Mara, "Projection of angular momentum via linear algebra", Physical Review C 96, 064304 (2017).
[2] Calvin W. Johnson and Changfeng Jiao "Convergence and efficiency of angular momentum projection", Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics 46, 015101 (2019).
最基本的逻辑很简单。假设

\[| \Psi \rangle = \sum_{JM} c_{JM} | J M \rangle, \]

则有

\[\hat{R}(\Omega) | \Psi \rangle = \sum_{JMK} c_{JM} D^J_{KM}(\Omega) | J M \rightarrow K \rangle. \]

所以有

\[\langle \Psi | \hat{R}(\Omega) | \Psi \rangle = \sum_{JKM} c^*_{JK} c_{JM} D^J_{KM}(\Omega) \langle JK | J M \rightarrow K \rangle = \sum_{JKM} D^J_{KM}(\Omega) N^J_{KM}. \tag{2} \]

将 \(\Omega\) 取一系列离散点 \(\Omega_i\)，得到

\[\langle \Psi | \hat{R}(\Omega_i) | \Psi \rangle = \sum_{JKM} D^J_{KM}(\Omega_i) N^J_{KM}. \]

则上式是一个线性方程组求解的问题

\[\vec{x}_i = B_{i, (JKM)} \vec{y}_{(JKM)}. \]

根据参考文献 [2]，线性代数方法在 PHF 中只需\(10^3 \sim 10^4\)个欧拉角即可收敛，而积分方法需要 \(10^4 \sim 10^5\) 个欧拉角。

2.3 为何 LAP 要优于 Quadrature

这是因为，公式 (1) 是一个近似公式，近似程度取决于 quadrature 的好坏，即欧拉角取点多少。原则上点数无穷，才会严格相等。
而公式（2）是一个严格公式，LAP 在这个严格公式的基础上，扔掉了一些较高的 J 而已，因为那些很高的 J 组分在 \(\Psi\) 中的比重 \(f_J \approx 0\)。
这就是这两种近似的区别，因为 \(f_J \approx 0\) 这个具体的情况，LAP 是更好的近似，因此具有更好的收敛性能。