这个很简单，但是还是简单记一下，供以后翻阅。
1. 正交化
现有线性无关的非正交归一基矢
\[| i \rangle, i = 1, 2, \cdots, n.
\]
把这些基矢做内积，得到矩阵
\[A^{ove}_{ij} = \langle i | j \rangle,
\]
然后对角化，得到
\[A^{ove} \vec{v}_i = \lambda_i \vec{v}_i,
\]
只要 $ |1 \rangle, | 2 \rangle, \cdots, | n \rangle$ 是线性无关的，那就可以证明，\(\forall i, \lambda_i > 0\)。
若用特征向量 \(\{\vec{v}_i\}\) 构造矩阵
\[V = [ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_n ],
\]
则其列矢量正交归一，\(V\)是一个正交矩阵。可以定义矩阵 \(S\)，使得
\[S_{ij} = V_{ij} / \sqrt{ \lambda_j },
\]
即 \(V\) 的每个列矢量除以相应特征值的平方根。然后定义新的基矢
\[| \alpha \rangle = \sum_i S_{i \alpha} | i \rangle = \frac{ V_{i\alpha}}{ \sqrt{\lambda_\alpha} } | i \rangle,
\]
利用 \(V\) 是正交矩阵，容易得到
\[| i \rangle = \sqrt{\lambda_\alpha} V_{i\alpha} | \alpha \rangle,
\]
那么，
\[\langle \alpha | \beta \rangle = \sum_{ij} S_{i \alpha} S_{j \beta} \langle i | j \rangle
= \sum_{ij} \frac{ V_{i \alpha} }{\sqrt{\lambda_\alpha}} \frac{ V_{j\beta} }{ \sqrt{\lambda_\beta}} A^{ove}_{ij}
= \sum_{k} \frac{ V_{i \alpha}}{\sqrt{\lambda_\alpha}} \frac{ 1 }{ \sqrt{\lambda_\beta}} \lambda_\beta V_{i\beta} = \delta_{ij},
\]
这里使用了 \(V\) 的列矢量两两正交这回事。所以，这样定义的 \(|\alpha\rangle, \alpha=1,\cdots, n\) 就是正交归一基。
2. Hill-Wheeler 方程
现在，拟设“波函数”
\[| \psi \rangle = \sum_i c_i | i \rangle,
\]
要使哈密顿量在\(|\psi\rangle\)上的期望值最低，期望值即
\[H_{exp} = \frac{ c_i c_j \langle i | H | j \rangle }{ c_i c_j \langle i | j \rangle },
\]
这里使用了爱因斯坦约定，即出现两次的指标表示求和。
要使得 \(H_{exp}\) 取极小值，即 \(H_{exp}\) 对任意 \(c_k\) 的偏导数为 \(0\), 即
\[\forall k, \frac{ \partial H_{exp} }{ \partial c_k } = \frac{ (2 \langle k | H | i \rangle c_i )( c_i c_j \langle i | j \rangle ) - (2 \langle k | H | i \rangle)(c_i c_j \langle i | H | j \rangle ) }{ (c_i c_j \langle i | j \rangle )^2} = 0,
\]
即分子为
\[\forall k, \langle k | H | i \rangle c_i = \frac{ c_i c_j \langle i | H | j \rangle }{ c_i c_j \langle i | j \rangle } \langle k | i \rangle c_i = H_{exp} \langle k | i \rangle c_i,
\]
可以记矩阵 \(\mathcal H_{ki} = \langle k | H | i \rangle, \mathcal N_{ki} = \langle k | i \rangle, E = H_{exp}\)，则上式表述为
\[\mathcal H \vec{c} = E \mathcal N \vec{c}，
\]
这就是 Hill-Wheeler 方程。我们展示了，在一些线性无关基矢张成的截断空间内，对哈密顿量 \(\hat{H}\) 做如上近似对角化，得到的解就是期望值的极小值。这和Lanczos方法的博客：https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14519804.html 中介绍的Rayleigh商极为相似。可以这么看：在全空间中，\(H\)的期望值就是所谓 Rayleigh 商，那篇博文中展示了 Rayleigh 商的极小值就是本征值；而这篇博文中，展示了截断空间中，\(H\)的Rayleigh商对应着上式中广义本征方程的解。可以说前者是后者的特殊情况（截断空间=全空间），后者是更一般的情况。
3. Hill-Wheeler方程的解
用现成的数值工具包可以轻易地求解 \(\mathcal H \vec{c} = E \mathcal N \vec{c}\)，得到的 \(E\) 值就是近似本征能量，本征波函数则为
\[| \psi \rangle = c_i | i \rangle,
\]
纯粹出于手贱，推一下这个：如果先求出 \(| \psi \rangle = d_\alpha | \alpha \rangle\) ，则有
\[| \psi \rangle = d_\alpha S_{i\alpha} | i \rangle = c_i | i \rangle,
\]
即
\[\vec{c} = S \vec{d}.
\]
