张量生成SO(3)表示

参考书：A. Zee 《Group Theory in a Nutshell》part IV

1 张量的定义

1.1 矢量的定义

矢量的几何图像是很直观的，三维空间中两点之间一个箭头。如果把矢量表示成

\[\vec{x} = x^1 \vec{e}_1 + x^2 \vec{e}_2 + x^3 \vec{e}_3, \]

就在矢量\(\vec{x}\)和有序的三个实数\((x^1,x^2,x^3)\)之间建立了一一映射，这三个数就表示这个矢量了。
在转动变换\(R\)下，

\[\vec{x} \rightarrow \vec{x}' = R^{ij} x^j, \]

\(R\)是\(SO(3)\)的一个元素，不改变矢量长度、不同矢量之间的手征性等等，只是把整个体系做一个转动。
那么，可以换一种方式定义一个矢量，即在任意一个转动下，三个数做变换：

\[x'^i = R^{ij}x^j, \]

那么，就说\((x^1, x^2, x^3)\)是一个矢量。即把这三个数看成一个整体，如果这个整体在转动变换下如上变化，就说明这个整体确实对应一个矢量。

1.2 张量的定义

把上面这个矢量的定义推广一下，即可定义一个张量，下面以 \(2\) 阶张量为例。若有 \(T^{ij},~i,j=1,2,3\)共9个分量，如果在转动变换下，它如下变换：

\[T^{ij} \rightarrow (T')^{ij} = R^{ik} R^{jl} T^{kl}, \]

则称 \(T^{ij}\) 为张量。类似地可以推广到任意阶张量。
因为 \(R\) 是行列式为 1 的正交阵，容易得到, \(\forall i,j,s,t\),

\[\sum_{kl} R^{ik} R^{jl} R^{sk} R^{tl} = \delta_{is} \delta_{jt}, \]

也就是说，以 \(T^{ij}\) 的 9 个分量构成一个基矢，转动变换下，相当于这个 9 维基矢做了一个正交变换。这个 9 维矩阵构成 SO(3) 的一个表示。

1.3 张量的对称性

以 3 维空间中的 2 阶张量为例，如果张量 \(T^{ij}\) 满足，\(\forall i,j = 1,2,3\)，

\[T^{ij} = T^{ji}, \]

则称 \(T^{ij}\) 是对称张量。如果 \(\forall i,j = 1,2,3\)，有

\[T^{ij} = - T^{ji}, \]

则称 \(T^{ij}\) 是反对称张量。

2. 张量的约化

如前所述，张量很容易构造高维 (9, 27, ...) 的 SO(3) 矩阵表示，但是这些表示都是可约的。

2.1 对称/反对称张量构成不变子空间

在转动变换下

\[(T')^{ij} = R^{ik} R^{jl} T^{kl}. \]

如果 \(T^{ij}\) 是一个对称张量，则有

\[(T')^{ji} = R^{jk} R^{il} T^{kl} = R^{jk} R^{il} T^{lk} = R^{il} R^{jk} T^{lk} = (T')^{ij}. \]

所以转换之后 \(T'\) 仍然是对称的。相似地，可以证明转动变换也不改变反对称性。

2.2 张量的约化：对称与反对称张量

任何一个张量 \(T\) 都可以表示为一个对称张量 \(S\) 与一个反对称张量 \(A\) 之和，

\[T^{ij} = S^{ij} + A^{ij}, \]

其中，

\[S^{ij} = (T^{ij} + T^{ji})/2, ~~ A^{ij} = (T^{ij} - T^{ji})/2. \]

所以，在转动变换之下，张量 \(T\) 分成了两部分，一部分是对称张量，一部分是反对称张量，它们都构成不变子空间。只要存在不变子空间，就是可约的。

对称张量与反对称张量的定义很容易推广到高阶，即交换任意 2 个指标，得到的分量值不变，或加负号。

可以证明，\(\delta_{ij}\)是一个 2 阶对称张量，\(\epsilon_{ijk}\)是一个反对称张量。

2.3 张量的约化：对称张量的迹

张量 \(T^{ijkl...n}\) 的迹可以定义为

\[\delta_{ij} T^{ijkl...n}, \]

这个笔记里一律使用爱因斯坦记号，即同一表达式里出现两次的下标都表示求和。在转动变换下，上式变为

\[\delta{i'j'} T^{i'j'k'l'...n'}, \]

所以仍然是 1、2 指标的迹。所以迹也构成不变子空间。

2.4 张量的约化

总结一下，3 维空间中一个 n 阶张量能构造 SO(3) 的一个表示，其维数是

\[3^n \]

但是，这个维数是可约的。

2.4.1 二阶张量

\(n=2\)时，\(3^n = 9\)。反对称张量子空间的维数是 \(3\)，对称子空间维数是 \(6\)，其中有一个迹 0 子空间维数是 1 。
所以，

\[9 = 3 \oplus 5 \oplus 1. \]

会给出一个 SO(3) 的 1 维、3 维、5 维矩阵表示。

2.4.2 三阶张量

\(n=3\)时，\(3^n = 27\)。反对称子空间维数是 \(1\)，对称子空间维数是

\[C^2_{n+2} = (n+2)(n+1)/2, \]

这个数是这么计算的：维数取决于\(n\)个指标中有多少个\(1,2,3\)，所以相当于\(n\)个苹果往\(3\)个篮子里分，排列组合问题易得上式。
其中还有迹 0 的子空间，其维数是

\[C^2_{n} = n(n-1)/2, \]

所以对称子空间为

\[(n+2)(n+1)/2 = n(n-1)/2 \oplus 2n+1 = 3 \oplus 7. \]

2.4.3 更高阶张量

\(n>3\) 时，不存在完全反对称的子空间了，完全对称的子空间维数是 \((n+2)(n+1)/2\)，其中迹 0 的子空间维数是 \(n(n-1)/2\)，剩下的子空间维数是 \(2n+1\)。

所以，换一句话说，把 SO(3) 的矩阵表示不断地做直积，可以得到越来越高的奇数维表示。

2.4.4 完全对称的迹 0 张量的直积

根据前面的分析，完全对称的迹 0 张量 \(S^{i_1 i_2 \cdots i_j}\) 的独立分量个数为

\[(j+2)(j+1)/2 - j(j-1)/2 = 2j+1. \]

那么如果把两个完全对称的迹 0 张量做直积 \(S^{i_1 i_2 \cdots i_j} T^{k_1 \cdots k_{j'}}\)，独立分量个数为

\[(2j+1)(2j'+1). \]

其中，完全对称化的迹 0 分量个数为

\[2(j+j') + 1. \]

然后，可以用 \(\epsilon^{ikl}\) 与之做缩并

\[\epsilon^{i_1 k_1 l} S^{i_1 i_2 \cdots i_j} T^{k_1 \cdots k_{j'}}, \]

得到一个 \(j+j'-1\) 阶张量，取出其中的完全对称迹 0 部分，得到分量个数为

\[2(j+j'-1) +1, \]

直到没得取了，最终得到

\[j \otimes j' = (j+j') \oplus (j+j'-1) \oplus \cdots \oplus |j-j'|, \]

其中 \(j\) 表示 \((2j+1)\) 维表示。
也就是说，这种完全对称迹 0 张量可以不断做直积，来得到更高阶的迹 0 张量，进而得到 SO(3) 更高阶的不可约表示。