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SU(2),SO(3)群笔记

这个笔记的思路有点乱糟糟,但是记录了我以前的一些计算。以后估计还会有用,所以先贴在这里。

1 U(2)群

二维复矢量空间中的线性变换为

[u,v]=[u,v]S=[u,v][acbd]

如果保证变换前后矢量的模方不变,即

|u'|^2 + |v'|^2 = |u|^2 + |v|^2

[u',v'] \begin{bmatrix} u'^* \\ v'^* \end{bmatrix} = [u,v] S S^\dagger \begin{bmatrix} u^* \\ v^* \end{bmatrix}

对任意u,v都成立.
可以证明,“保证变换前后矢量模方不变”\Leftrightarrow“变换矩阵S是幺正的,即SS^\dagger=1”。记

SS^\dagger = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}

然后取如下情况,

1)取 [u,v] = [1,0] \Rightarrow A=1;

2)取 [u,v] = [0,1] \Rightarrow D=1;

3)取 [u,v] = [2^{-1/2},2^{-1/2}] \Rightarrow B+C=0;

4)取 [u,v] = [2^{-1/2},i2^{-1/2}] \Rightarrow B-C=0;

所以必有SS^\dagger = 1。而SS^\dagger=1也是充分的,足以保证|u|^2 + |v|^2=1在变换前后不变。

这样的S构成U(2)群,因为单位元、封闭性、结合律、逆元都满足。以U来标记,大概是unitary,即幺正性。
很显然,如果勒令S的元素都是实数,则构成子群O(2)O大概是orthogonal的缩写,即正交性。

要使得SS^\dagger=1,即

SS^\dagger = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^* & b^* \\ c^* & d^* \end{bmatrix} = 1,

即等价于:(a,c)幺模,(b,d)幺模,(a,c)与(b,d)內积为0,即正交,这里內积定义为
\begin{equation} (a,c) \cdot (b,d) = ab^* + cd^*. \end{equation}
所以可以定义a = \cos \theta e^{i\alpha}, c = \sin\theta e^{i\gamma}, b = \sin \phi e^{i\delta}, d = \cos \phi e^{i (\beta - \alpha)},其中\theta,\phi都在[0,\pi/2]中取值,辐角这么安排只是为了和Joshi的书保持一致,方便后面的笔记叙述。毕竟只要\alpha, \beta, \gamma, \delta取值范围是2\pi长的区间,a,b,c,d的相位就具有一般性。
\theta\phi的设置满足了两个幺模性,而(a,c)与(b,d)正交,则是

\cos \theta \sin \phi e^{i(\alpha - \delta)} + \sin \theta \cos \phi e^{i(\gamma + \alpha - \beta)} = 0,

把左边第二项移到右边,然后两边取模,得到\cos\theta \sin\phi = \sin\theta\cos\phi,考虑到它们的取值范围,则有\phi = \theta,所以上式即

\alpha - \delta = \gamma + \alpha - \beta + (2k+1)\pi, k\in Z,

\delta = \beta - \gamma - (2k+1)\pi, k \in Z,

所以最终

S = \begin{bmatrix} \cos \theta e^{i\alpha} & \sin \theta e^{i \gamma} \\ - \sin\theta e^{i (\beta - \gamma)} & \cos\theta e^{i(\beta - \alpha)} \end{bmatrix}

显然有|S| = e^{i\beta}
a,b|a|^2 + |b|^2 = 1的约束,所以共有三个自由度。

2 SU(2)群

如果\beta = 0,即|S| = 1,则S构成SU(2)群。S大概是special,即特殊的幺正群,

S = \begin{bmatrix} \cos \theta e^{i\alpha} & \sin \theta e^{i \gamma} \\ - \sin\theta e^{i ( - \gamma)} & \cos\theta e^{i( - \alpha)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b^* \\ b & a^* \end{bmatrix}

3 SU(2)群的不可约表示

考虑二维复矢量[u,v]的函数
\begin{equation} f^m_j = \frac{ u^{j+m} v^{j-m} }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} }, ~~~ 2j = 0,1,2,\cdots, ~~~ m = -j, -j+1, \cdots, j, \end{equation}
因为u^{j+m}v^{j-m}整体的幂次是2j,对[u,v]做了线性变换以后,u',v'u,v的线性叠加,那么u'^{j+m} v'^{j-m}仍然是u,v2j齐次型,所以f^m_j在变换之后,是f^{m'}_j的线性叠加。
也就是说,在u,v进行线性变换时,f^m_j构成一个2j+1阶的封闭空间。
那么,以f^m_j为基矢,就可以构造线性变换矩阵,与u,v的线性变换相对应。
这样的矩阵,就是U(2)群元的表示,如果是SU(2)群元,就是SU(2)的表示。
R(a,b)标记这个线性变换,对应S=[\begin{smallmatrix} a & -b^*\\ b & a^* \end{smallmatrix}],则有
\begin{equation} R(a,b) f^m_j = \frac{ 1 }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} } (au + bv)^{j+m} (-b^* u + a^* v)^{j-m}, \end{equation}
将上式展开,经过计算整理,得到

R(a,b) f^m_j = \sum^j_{m'=-j} f^{m'}_j D_{m' m}^j(a,b),

其中

D^j_{m' m}(a,b) = \sum_k \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! } a^{j+m-k} (a^*)^{j-m'-k} b^k (-b^*)^{m'-m+k}.

k使得所有阶乘的宗量不小于0,这样来确定它的求和范围。

注意到,如果(u,v)的模方不变,f^m_j作为一个2j+1维矢量,它的模方是不变的

\sum_m |f^m_j|^2 = \frac{1}{(2j)!} ( |u|^2 + |v|^2 )^{2j},

所以D^j_{m' m}(a,b)是一个幺正矩阵表示。
另外(unchecked),用舒尔引理的逆命题可以证明,D^j_{m'm}(a,b)是一个不可约表示。Joshi还声称它是SU(2)唯一的2j+1维不可约表示,这一点我没有理解。

因为线性变换的“乘法”对应着上文中矩阵S的乘法,所以SU(2)群中的共轭群元一定有相同的特征值。
有完全相同特征值的S矩阵也一定是相似的,对应共轭群元。
所以,考虑SU(2)群的类,只需按特征值划分。
而矩阵S的特征方程为
\begin{equation} \lambda^2 - (a + a^*) \lambda + 1 =0, \end{equation}
只与a的实部有关。
所以,所有a的实部相同的SU(2)元素构成一类。
因为D^j_{m'm}(a,b)是同构的幺正不可约矩阵群,所以类结构也会映射过来,即所有a的实部相同的D^j_{m'm}(a,b)构成一类,相应的特征标为

\chi^j(e^{i\alpha/2}, 0 ) = \sum^j_{m=-j} D^j_{mm} (e^{i\alpha/2},0) = \frac{\sin(j+\frac{1}{2})\alpha }{ \sin \frac{1}{2} \alpha }.

4 SU(2)到SO(3)群的同态

既然SU(2)线性变换矩阵S \equiv \begin{bmatrix} a & -b^* \\ b & a^* \end{bmatrix}与上面定义的D矩阵同构,研究某一个D矩阵表示,即可等价地研究SU(2)群。
那么不妨看D^1矩阵,即j=1,m=-1,0,1三维矩阵,函数基矢f^m_j

\left\{ \begin{aligned} & x_1 = u^2 / \sqrt{2}, \\ & x_2 = uv, \\ & x_3 = v^2 / \sqrt{2} \end{aligned} \right.

相应的D矩阵很容易得到

\left\{ \begin{aligned} & x'_1 = R(a,b)x_1 = a^2 x_1 + \sqrt{2} ab x_2 + b^2 x_3, \\ & x'_2 = R(a,b)x_2 = - \sqrt{2} ab^* x_1 + (aa^* - bb^*)x_2 + \sqrt{2} a^*b x_3, \\ & x'_3 = R(a,b)x_3 = (b^*)^2 x_1 - \sqrt{2} a^* b^* x_2 + (a^*)^2 x_3. \end{aligned} \right.

D^1 = \begin{bmatrix} a^2 & - \sqrt{2} ab^* & (b^*)^2 \\ \sqrt{2} ab & (aa^* - bb^*) & -\sqrt{2} a^* b^* \\ b^2 & \sqrt{2} a^* b & (a^*)^2 \end{bmatrix}, ~~~~ R(a,b) (x_1, x_2, x_3) = (x_1, x_2, x_3) D^1

D^1是一个复数矩阵,但是可以通过幺正变换,变成实数矩阵。定义

U = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \\ & & 1\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \end{bmatrix}

则有

U^\dagger D^1 U = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}( a^2 + (a^*)^2 - b^2 - (b^*)^2) & -\frac{i}{2}( a^2 - (a^*)^2 - b^2 + (b^*)^2) & -ab^* + a^*b \\ \frac{i}{2}(a^2 - (a^*)^2 + b^2 - (b^*)^2) & \frac{1}{2}(a^2 + (a^*)^2 + b^2 + (b^*)^2) & -i(ab^* - a^*b) \\ ab + a^* b^* & -i(ab-a^* b^*) & aa^* -bb^* \end{bmatrix},

这是一个实数矩阵,而且行列式为1,所以实际上是SO(3)群的一个群元。
这意味着,每一个SU(2)的群元都对应着唯一的一个SO(3)的群元。

5 SO(3)群

不改变3维矢量长度的线性变换构成O(3)群,线性变换矩阵的行列式为 1 而不是 -1 的,则构成SO(3)群。
为何 SO(3) 群就是转动群?
首先,每一个转动变换矩阵一定是SO(3)的群元。
齐次,SO(3)的矩阵都对应着转动变换。
对任意SO(3)中的群元R,坐标系按R转动时,一个矢量\vec{r} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z的坐标变化为
\begin{equation} (x',y',z') = (x,y,z)R, \end{equation}
因为R R^\top = 1,所以变换前后矢量长度不变。
任意两个矢量的內积为
\begin{equation} \vec{\alpha'}^\top \vec{\beta'} = \vec{\alpha}^\top R R^\top \vec{\beta} = \vec{\alpha}^\top \vec{\beta} \end{equation}
两个矢量的外积与第三个矢量的点乘,反映了它们之间的手征关系,
\begin{equation} (\vec{\alpha'} \times \vec{\beta'}) \cdot \vec{\gamma'} = \alpha_l R_{li} \beta_m R_{mj} \gamma_n R_{nk} \epsilon_{ijk} = \alpha_l \beta_m \gamma_n \epsilon_{lmn} = (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) \cdot \vec{\gamma}, \end{equation}
上式第二个等号使用了R的行列式为1。
有长度、內积、外积不变,即可说明SO(3)的任何一个元素都对应着转动。
因为长度、內积、外积不变,说明刚体上每一个点之间的相对位置都没有变。

6 SO(3)群的群元

以前我用几何的方法证明过,共原点的任意两个右手系,都可以通过唯一一次定轴转动相联系。
用三个欧拉角所标定的三次转动,也可以连接共原点的任意两个右手系。
所以,任意转动变换有两种表述,一个是定轴转动,一个是欧拉角的三次定轴转动。

任意的定轴转动,不妨设转轴为\vec{u},绕\vec{u}转角d\phi以后,任意一点\vec{r}的变化量为

- d\phi \vec{u} \times \vec{r}

注意,这里我使用了“坐标轴转动”的约定,与Joshi一致。
所以,生成元I作用在三维空间的任意标量函数f(\vec{r})上,有
\begin{equation} I f(\vec{r}) = \lim\limits_{d\phi \rightarrow 0} \frac{1}{i d\phi} [ f(\vec{r} - d\phi \vec{u} \times \vec{r} ) - f(\vec{r}) ] = i (\vec{u} \times \vec{r}) \cdot \vec{\nabla} f = \vec{u} \cdot (\vec{r} \times i \vec{\nabla} ) f = -\vec{u} \cdot \vec{L} / \hbar f \end{equation}
所以一般地,转动变换可以表示为
\begin{equation} R_{\vec{u}}(\phi) = e^{i\phi I} = e^{-i \phi \vec{u} \cdot \vec{L}/\hbar}. \end{equation}
从这个角度,也可以理解,在转动变换下,球谐函数Y_{lm}(\theta, \phi), m=-l, \cdots,l构成不变子空间,因为R_{\vec{u}}(\phi)L^2是对易的。

用欧拉角的表示方法,则是
\begin{equation} R(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha) \end{equation}
其中

R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

R_{\vec{u}}(\phi)R_{\vec{e}_z}(\phi)是相似的。可以取\vec{u} \times \vec{e}_z,绕它转动使\vec{e}_z\vec{u}重合,然后转过\phi角,再绕\vec{u} \times \vec{e}_z,将\vec{u}转回\vec{e}_z角,会发现整套操作与R_{\vec{e}_z}(\phi)相同。

所以,所有转角相同的定轴转动属于同一个类。

7 SO(3)群的表示

用欧拉角标记,

R(\alpha, \beta, \gamma) Y^m_l (\theta, \phi) = \sum^l_{m'=-l} Y^{m'}_l(\theta, \phi) D^l_{m',m}(\alpha, \beta, \gamma),

这样构成一个2l+1维的不可约表示D^l_{m',m}

球谐函数的定义为(参考Arfken&Weber书的约定)
\begin{equation} Y^m_n(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{ (2n+1)(n-m)! }{ 4\pi (n+m)! } } P^m_n(\cos \theta) e^{im \phi}, \end{equation}
所以有
\begin{equation} R_z(\alpha) Y^m_l(\theta, \phi) = e^{-im\alpha} Y^m_l(\theta, \phi), \end{equation}
所以D^l(R_z(\alpha))的特征标为
\begin{equation} \chi^l(\alpha) = \frac{ \sin(l+1/2)\alpha }{ \sin \alpha/2 }. \end{equation}

8 SO(3)群到SU(2)群的同态

我们回到第4节构造的SU(2)与SO(3)的联系,如果令U^\dagger D^1 U=R_z(\alpha),经过计算,会发现,这等价于要求a=\pm e^{i\alpha/2}, b = 0
如果令U^\dagger D^1 U=R_y(\beta),则会发现,这等价于要求a=\pm \cos \beta/2, b= \pm \sin \beta/2
所以,应用于欧拉角标记下的R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha),则会得到

\pm \begin{bmatrix} \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2} & -\sin \beta/2 e^{i(\gamma-\alpha)/2} \\ \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2} & \cos \beta/2 e^{-i(\alpha-\gamma)/2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow R(\alpha, \beta, \gamma)

所以每个SO(3)的元素对应两个SU(2)的元素(相差一个负号)。

9 SO(3)群的矩阵表示

a = \pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2}, b=\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}带入第三节D^j_{m'm}的表达式,可以得到
\begin{equation} D^j_{m' m}(\pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2},\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}) = \sum_k (-1)^{m'-m+k} \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! } e^{im\alpha} e^{im'\gamma} (\pm \cos \frac{\beta}{2})^{2j+m-m'-2k} (\pm \sin \frac{\beta}{2})^{m'-m+2k}. \end{equation}
可以看出来,j是整数时,\pm符号对最终结果没有影响,是一个单值表示,而j是半整数时,D^j_{m'm}也有\pm符号,是所谓双值表示。

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