SU(2)，SO(3)群笔记

这个笔记的思路有点乱糟糟，但是记录了我以前的一些计算。以后估计还会有用，所以先贴在这里。

1 U(2)群

二维复矢量空间中的线性变换为

[u^{'}, v^{'}] = [u, v] S = [u, v] [\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}]

$[ u', v'] = [u,v]S = [u,v] \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$

如果保证变换前后矢量的模方不变，即

| u^{'} |^{2} + | v^{'} |^{2} = | u |^{2} + | v |^{2}

$|u'|^2 + |v'|^2 = |u|^2 + |v|^2$

即

[u^{'}, v^{'}] [\begin{matrix} u^{' *} \\ v^{' *} \end{matrix}] = [u, v] S S^{†} [\begin{matrix} u^{*} \\ v^{*} \end{matrix}]

$[u',v'] \begin{bmatrix} u'^* \\ v'^* \end{bmatrix} = [u,v] S S^\dagger \begin{bmatrix} u^* \\ v^* \end{bmatrix}$

对任意 $u,v$ 都成立.
可以证明，“保证变换前后矢量模方不变” $\Leftrightarrow$ “变换矩阵 $S$ 是幺正的，即 $SS^\dagger=1$ ”。记

S S^{†} = [\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}]

$SS^\dagger = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$

然后取如下情况，

1)取 $[u,v] = [1,0] \Rightarrow A=1$ ;

2)取 $[u,v] = [0,1] \Rightarrow D=1$ ;

3)取 $[u,v] = [2^{-1/2},2^{-1/2}] \Rightarrow B+C=0$ ;

4)取 $[u,v] = [2^{-1/2},i2^{-1/2}] \Rightarrow B-C=0$ ;

所以必有 $SS^\dagger = 1$ 。而 $SS^\dagger=1$ 也是充分的，足以保证 $|u|^2 + |v|^2=1$ 在变换前后不变。

这样的 $S$ 构成 $U(2)$ 群，因为单位元、封闭性、结合律、逆元都满足。以 $U$ 来标记，大概是unitary，即幺正性。
很显然，如果勒令 $S$ 的元素都是实数，则构成子群 $O(2)$ ， $O$ 大概是orthogonal的缩写，即正交性。

要使得 $SS^\dagger=1$ ，即

S S^{†} = [\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}] [\begin{matrix} a^{*} & b^{*} \\ c^{*} & d^{*} \end{matrix}] = 1,

$SS^\dagger = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^* & b^* \\ c^* & d^* \end{bmatrix} = 1,$

即等价于：(a,c)幺模，(b,d)幺模，(a,c)与(b,d)內积为0，即正交，这里內积定义为
$\begin{equation} (a,c) \cdot (b,d) = ab^* + cd^*. \end{equation}$
所以可以定义 $a = \cos \theta e^{i\alpha}, c = \sin\theta e^{i\gamma}, b = \sin \phi e^{i\delta}, d = \cos \phi e^{i (\beta - \alpha)}$ ，其中 $\theta,\phi$ 都在 $[0,\pi/2]$ 中取值，辐角这么安排只是为了和Joshi的书保持一致，方便后面的笔记叙述。毕竟只要 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 取值范围是 $2\pi$ 长的区间， $a,b,c,d$ 的相位就具有一般性。
$\theta$ 和 $\phi$ 的设置满足了两个幺模性，而(a,c)与(b,d)正交，则是

\cos θ \sin ϕ e^{i (α - δ)} + \sin θ \cos ϕ e^{i (γ + α - β)} = 0,

$\cos \theta \sin \phi e^{i(\alpha - \delta)} + \sin \theta \cos \phi e^{i(\gamma + \alpha - \beta)} = 0,$

把左边第二项移到右边，然后两边取模，得到 $\cos\theta \sin\phi = \sin\theta\cos\phi$ ，考虑到它们的取值范围，则有 $\phi = \theta$ ，所以上式即

α - δ = γ + α - β + (2 k + 1) π, k \in Z,

$\alpha - \delta = \gamma + \alpha - \beta + (2k+1)\pi, k\in Z,$

即

δ = β - γ - (2 k + 1) π, k \in Z,

$\delta = \beta - \gamma - (2k+1)\pi, k \in Z,$

所以最终

S = [\begin{matrix} \cos θ e^{i α} & \sin θ e^{i γ} \\ - \sin θ e^{i (β - γ)} & \cos θ e^{i (β - α)} \end{matrix}]

$S = \begin{bmatrix} \cos \theta e^{i\alpha} & \sin \theta e^{i \gamma} \\ - \sin\theta e^{i (\beta - \gamma)} & \cos\theta e^{i(\beta - \alpha)} \end{bmatrix}$

显然有 $|S| = e^{i\beta}$ 。
$a,b$ 受 $|a|^2 + |b|^2 = 1$ 的约束，所以共有三个自由度。

2 SU(2)群

如果 $\beta = 0$ ，即 $|S| = 1$ ，则 $S$ 构成SU(2)群。S大概是special，即特殊的幺正群，

S = [\begin{matrix} \cos θ e^{i α} & \sin θ e^{i γ} \\ - \sin θ e^{i (- γ)} & \cos θ e^{i (- α)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & - b^{*} \\ b & a^{*} \end{matrix}]

$S = \begin{bmatrix} \cos \theta e^{i\alpha} & \sin \theta e^{i \gamma} \\ - \sin\theta e^{i ( - \gamma)} & \cos\theta e^{i( - \alpha)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b^* \\ b & a^* \end{bmatrix}$

3 SU(2)群的不可约表示

考虑二维复矢量的函数
$\begin{equation} f^m_j = \frac{ u^{j+m} v^{j-m} }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} }, ~~~ 2j = 0,1,2,\cdots, ~~~ m = -j, -j+1, \cdots, j, \end{equation}$
因为 $u^{j+m}v^{j-m}$ 整体的幂次是 $2j$ ，对 $[u,v]$ 做了线性变换以后， $u',v'$ 是 $u,v$ 的线性叠加，那么 $u'^{j+m} v'^{j-m}$ 仍然是 $u,v$ 的 $2j$ 齐次型，所以 $f^m_j$ 在变换之后，是 $f^{m'}_j$ 的线性叠加。
也就是说，在 $u,v$ 进行线性变换时， $f^m_j$ 构成一个 $2j+1$ 阶的封闭空间。
那么，以 $f^m_j$ 为基矢，就可以构造线性变换矩阵，与 $u,v$ 的线性变换相对应。
这样的矩阵，就是 $U(2)$ 群元的表示，如果是 $SU(2)$ 群元，就是 $SU(2)$ 的表示。
用 $R(a,b)$ 标记这个线性变换，对应，则有
$\begin{equation} R(a,b) f^m_j = \frac{ 1 }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} } (au + bv)^{j+m} (-b^* u + a^* v)^{j-m}, \end{equation}$
将上式展开，经过计算整理，得到

R (a, b) f_{j}^{m} = \sum_{m^{'} = - j}^{j} f_{j}^{m^{'}} D_{m^{'} m}^{j} (a, b),

$R(a,b) f^m_j = \sum^j_{m'=-j} f^{m'}_j D_{m' m}^j(a,b),$

其中

D_{m^{'} m}^{j} (a, b) = \sum_{k} \frac{[(j + m)! (j - m)! (j + m^{'})! (j - m^{'})!]^{1 / 2}}{(j + m - k)! k! (j - m^{'} - k)! (m^{'} - m + k)!} a^{j + m - k} (a^{*})^{j - m^{'} - k} b^{k} (- b^{*})^{m^{'} - m + k} .

$D^j_{m' m}(a,b) = \sum_k \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! } a^{j+m-k} (a^*)^{j-m'-k} b^k (-b^*)^{m'-m+k}.$

$k$ 使得所有阶乘的宗量不小于0，这样来确定它的求和范围。

注意到，如果 $(u,v)$ 的模方不变， $f^m_j$ 作为一个 $2j+1$ 维矢量，它的模方是不变的

\sum_{m} | f_{j}^{m} |^{2} = \frac{1}{(2 j)!} (| u |^{2} + | v |^{2})^{2 j},

$\sum_m |f^m_j|^2 = \frac{1}{(2j)!} ( |u|^2 + |v|^2 )^{2j},$

所以 $D^j_{m' m}(a,b)$ 是一个幺正矩阵表示。
另外（unchecked），用舒尔引理的逆命题可以证明， $D^j_{m'm}(a,b)$ 是一个不可约表示。Joshi还声称它是SU(2)唯一的2j+1维不可约表示，这一点我没有理解。

因为线性变换的“乘法”对应着上文中矩阵 $S$ 的乘法，所以SU(2)群中的共轭群元一定有相同的特征值。
有完全相同特征值的 $S$ 矩阵也一定是相似的，对应共轭群元。
所以，考虑SU(2)群的类，只需按特征值划分。
而矩阵的特征方程为
$\begin{equation} \lambda^2 - (a + a^*) \lambda + 1 =0, \end{equation}$
只与 $a$ 的实部有关。
所以，所有 $a$ 的实部相同的SU(2)元素构成一类。
因为 $D^j_{m'm}(a,b)$ 是同构的幺正不可约矩阵群，所以类结构也会映射过来，即所有 $a$ 的实部相同的 $D^j_{m'm}(a,b)$ 构成一类，相应的特征标为

χ^{j} (e^{i α / 2}, 0) = \sum_{m = - j}^{j} D_{m m}^{j} (e^{i α / 2}, 0) = \frac{\sin (j + \frac{1}{2}) α}{\sin \frac{1}{2} α} .

$\chi^j(e^{i\alpha/2}, 0 ) = \sum^j_{m=-j} D^j_{mm} (e^{i\alpha/2},0) = \frac{\sin(j+\frac{1}{2})\alpha }{ \sin \frac{1}{2} \alpha }.$

4 SU(2)到SO(3)群的同态

既然SU(2)线性变换矩阵 $S \equiv \begin{bmatrix} a & -b^* \\ b & a^* \end{bmatrix}$ 与上面定义的 $D$ 矩阵同构，研究某一个 $D$ 矩阵表示，即可等价地研究SU(2)群。
那么不妨看 $D^1$ 矩阵，即 $j=1,m=-1,0,1$ 三维矩阵，函数基矢 $f^m_j$ 是

{\begin{aligned} x_{1} = u^{2} / \sqrt{2}, \\ x_{2} = u v, \\ x_{3} = v^{2} / \sqrt{2} \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} & x_1 = u^2 / \sqrt{2}, \\ & x_2 = uv, \\ & x_3 = v^2 / \sqrt{2} \end{aligned} \right.$

相应的 $D$ 矩阵很容易得到

{\begin{aligned} x_{1}^{'} = R (a, b) x_{1} = a^{2} x_{1} + \sqrt{2} a b x_{2} + b^{2} x_{3}, \\ x_{2}^{'} = R (a, b) x_{2} = - \sqrt{2} a b^{*} x_{1} + (a a^{*} - b b^{*}) x_{2} + \sqrt{2} a^{*} b x_{3}, \\ x_{3}^{'} = R (a, b) x_{3} = (b^{*})^{2} x_{1} - \sqrt{2} a^{*} b^{*} x_{2} + (a^{*})^{2} x_{3} . \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} & x'_1 = R(a,b)x_1 = a^2 x_1 + \sqrt{2} ab x_2 + b^2 x_3, \\ & x'_2 = R(a,b)x_2 = - \sqrt{2} ab^* x_1 + (aa^* - bb^*)x_2 + \sqrt{2} a^*b x_3, \\ & x'_3 = R(a,b)x_3 = (b^*)^2 x_1 - \sqrt{2} a^* b^* x_2 + (a^*)^2 x_3. \end{aligned} \right.$

即

D^{1} = [\begin{matrix} a^{2} & - \sqrt{2} a b^{*} & (b^{*})^{2} \\ \sqrt{2} a b & (a a^{*} - b b^{*}) & - \sqrt{2} a^{*} b^{*} \\ b^{2} & \sqrt{2} a^{*} b & (a^{*})^{2} \end{matrix}], R (a, b) (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) D^{1}

$D^1 = \begin{bmatrix} a^2 & - \sqrt{2} ab^* & (b^*)^2 \\ \sqrt{2} ab & (aa^* - bb^*) & -\sqrt{2} a^* b^* \\ b^2 & \sqrt{2} a^* b & (a^*)^2 \end{bmatrix}, ~~~~ R(a,b) (x_1, x_2, x_3) = (x_1, x_2, x_3) D^1$

$D^1$ 是一个复数矩阵，但是可以通过幺正变换，变成实数矩阵。定义

U = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}} \\ 1 \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}} \end{matrix}]

$U = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \\ & & 1\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \end{bmatrix}$

则有

U^{†} D^{1} U = [\begin{matrix} \frac{1}{2} (a^{2} + (a^{*})^{2} - b^{2} - (b^{*})^{2}) & - \frac{i}{2} (a^{2} - (a^{*})^{2} - b^{2} + (b^{*})^{2}) & - a b^{*} + a^{*} b \\ \frac{i}{2} (a^{2} - (a^{*})^{2} + b^{2} - (b^{*})^{2}) & \frac{1}{2} (a^{2} + (a^{*})^{2} + b^{2} + (b^{*})^{2}) & - i (a b^{*} - a^{*} b) \\ a b + a^{*} b^{*} & - i (a b - a^{*} b^{*}) & a a^{*} - b b^{*} \end{matrix}] ，

$U^\dagger D^1 U = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}( a^2 + (a^*)^2 - b^2 - (b^*)^2) & -\frac{i}{2}( a^2 - (a^*)^2 - b^2 + (b^*)^2) & -ab^* + a^*b \\ \frac{i}{2}(a^2 - (a^*)^2 + b^2 - (b^*)^2) & \frac{1}{2}(a^2 + (a^*)^2 + b^2 + (b^*)^2) & -i(ab^* - a^*b) \\ ab + a^* b^* & -i(ab-a^* b^*) & aa^* -bb^* \end{bmatrix}，$

这是一个实数矩阵，而且行列式为1，所以实际上是 $SO(3)$ 群的一个群元。
这意味着，每一个SU(2)的群元都对应着唯一的一个SO(3)的群元。

5 SO(3)群

不改变3维矢量长度的线性变换构成O(3)群，线性变换矩阵的行列式为 1 而不是 -1 的，则构成SO(3)群。
为何 SO(3) 群就是转动群？
首先，每一个转动变换矩阵一定是SO(3)的群元。
齐次，SO(3)的矩阵都对应着转动变换。
对任意SO(3)中的群元 $R$ ，坐标系按 $R$ 转动时，一个矢量的坐标变化为
$\begin{equation} (x',y',z') = (x,y,z)R, \end{equation}$
因为 $R R^\top = 1$ ，所以变换前后矢量长度不变。
任意两个矢量的內积为
$\begin{equation} \vec{\alpha'}^\top \vec{\beta'} = \vec{\alpha}^\top R R^\top \vec{\beta} = \vec{\alpha}^\top \vec{\beta} \end{equation}$
两个矢量的外积与第三个矢量的点乘，反映了它们之间的手征关系，
$\begin{equation} (\vec{\alpha'} \times \vec{\beta'}) \cdot \vec{\gamma'} = \alpha_l R_{li} \beta_m R_{mj} \gamma_n R_{nk} \epsilon_{ijk} = \alpha_l \beta_m \gamma_n \epsilon_{lmn} = (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) \cdot \vec{\gamma}, \end{equation}$
上式第二个等号使用了 $R$ 的行列式为1。
有长度、內积、外积不变，即可说明SO(3)的任何一个元素都对应着转动。
因为长度、內积、外积不变，说明刚体上每一个点之间的相对位置都没有变。

6 SO(3)群的群元

以前我用几何的方法证明过，共原点的任意两个右手系，都可以通过唯一一次定轴转动相联系。
用三个欧拉角所标定的三次转动，也可以连接共原点的任意两个右手系。
所以，任意转动变换有两种表述，一个是定轴转动，一个是欧拉角的三次定轴转动。

任意的定轴转动，不妨设转轴为 $\vec{u}$ ，绕 $\vec{u}$ 转角 $d\phi$ 以后，任意一点 $\vec{r}$ 的变化量为

- d ϕ \vec{u} \times \vec{r}

$- d\phi \vec{u} \times \vec{r}$

注意，这里我使用了“坐标轴转动”的约定，与Joshi一致。
所以，生成元 $I$ 作用在三维空间的任意标量函数上，有
$\begin{equation} I f(\vec{r}) = \lim\limits_{d\phi \rightarrow 0} \frac{1}{i d\phi} [ f(\vec{r} - d\phi \vec{u} \times \vec{r} ) - f(\vec{r}) ] = i (\vec{u} \times \vec{r}) \cdot \vec{\nabla} f = \vec{u} \cdot (\vec{r} \times i \vec{\nabla} ) f = -\vec{u} \cdot \vec{L} / \hbar f \end{equation}$
所以一般地，转动变换可以表示为
$\begin{equation} R_{\vec{u}}(\phi) = e^{i\phi I} = e^{-i \phi \vec{u} \cdot \vec{L}/\hbar}. \end{equation}$
从这个角度，也可以理解，在转动变换下，球谐函数 $Y_{lm}(\theta, \phi), m=-l, \cdots,l$ 构成不变子空间，因为 $R_{\vec{u}}(\phi)$ 与 $L^2$ 是对易的。

用欧拉角的表示方法，则是
$\begin{equation} R(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha) \end{equation}$
其中

R_{z} (α) = [\begin{matrix} \cos α & \sin α & 0 \\ - \sin α & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

$R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

$R_{\vec{u}}(\phi)$ 与 $R_{\vec{e}_z}(\phi)$ 是相似的。可以取 $\vec{u} \times \vec{e}_z$ ，绕它转动使 $\vec{e}_z$ 与 $\vec{u}$ 重合，然后转过 $\phi$ 角，再绕 $\vec{u} \times \vec{e}_z$ ，将 $\vec{u}$ 转回 $\vec{e}_z$ 角，会发现整套操作与 $R_{\vec{e}_z}(\phi)$ 相同。

所以，所有转角相同的定轴转动属于同一个类。

7 SO(3)群的表示

用欧拉角标记，

R (α, β, γ) Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = \sum_{m^{'} = - l}^{l} Y_{l}^{m^{'}} (θ, ϕ) D_{m^{'}, m}^{l} (α, β, γ),

$R(\alpha, \beta, \gamma) Y^m_l (\theta, \phi) = \sum^l_{m'=-l} Y^{m'}_l(\theta, \phi) D^l_{m',m}(\alpha, \beta, \gamma),$

这样构成一个 $2l+1$ 维的不可约表示 $D^l_{m',m}$ 。

球谐函数的定义为(参考Arfken&Weber书的约定)
$\begin{equation} Y^m_n(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{ (2n+1)(n-m)! }{ 4\pi (n+m)! } } P^m_n(\cos \theta) e^{im \phi}, \end{equation}$
所以有
$\begin{equation} R_z(\alpha) Y^m_l(\theta, \phi) = e^{-im\alpha} Y^m_l(\theta, \phi), \end{equation}$
所以的特征标为
$\begin{equation} \chi^l(\alpha) = \frac{ \sin(l+1/2)\alpha }{ \sin \alpha/2 }. \end{equation}$

8 SO(3)群到SU(2)群的同态

我们回到第4节构造的SU(2)与SO(3)的联系，如果令 $U^\dagger D^1 U=R_z(\alpha)$ ，经过计算，会发现，这等价于要求 $a=\pm e^{i\alpha/2}, b = 0$ ；
如果令 $U^\dagger D^1 U=R_y(\beta)$ ，则会发现，这等价于要求 $a=\pm \cos \beta/2, b= \pm \sin \beta/2$ 。
所以，应用于欧拉角标记下的 $R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha)$ ，则会得到

\pm [\begin{matrix} \cos β / 2 e^{i (α + γ) / 2} & - \sin β / 2 e^{i (γ - α) / 2} \\ \sin β / 2 e^{i (α - γ) / 2} & \cos β / 2 e^{- i (α - γ) / 2} \end{matrix}] \Leftrightarrow R (α, β, γ)

$\pm \begin{bmatrix} \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2} & -\sin \beta/2 e^{i(\gamma-\alpha)/2} \\ \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2} & \cos \beta/2 e^{-i(\alpha-\gamma)/2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow R(\alpha, \beta, \gamma)$

所以每个SO(3)的元素对应两个SU(2)的元素（相差一个负号）。

9 SO(3)群的矩阵表示

把 $a = \pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2}, b=\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}$ 带入第三节的表达式，可以得到
$\begin{equation} D^j_{m' m}(\pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2},\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}) = \sum_k (-1)^{m'-m+k} \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! } e^{im\alpha} e^{im'\gamma} (\pm \cos \frac{\beta}{2})^{2j+m-m'-2k} (\pm \sin \frac{\beta}{2})^{m'-m+2k}. \end{equation}$
可以看出来， $j$ 是整数时， $\pm$ 符号对最终结果没有影响，是一个单值表示，而 $j$ 是半整数时， $D^j_{m'm}$ 也有 $\pm$ 符号，是所谓双值表示。