SU(2),SO(3)群笔记
这个笔记的思路有点乱糟糟,但是记录了我以前的一些计算。以后估计还会有用,所以先贴在这里。
1 U(2)群二维复矢量空间中的线性变换为
如果保证变换前后矢量的模方不变,即
即
对任意u,v都成立.
可以证明,“保证变换前后矢量模方不变”\Leftrightarrow“变换矩阵S是幺正的,即SS^\dagger=1”。记
然后取如下情况,
1)取 [u,v] = [1,0] \Rightarrow A=1;
2)取 [u,v] = [0,1] \Rightarrow D=1;
3)取 [u,v] = [2^{-1/2},2^{-1/2}] \Rightarrow B+C=0;
4)取 [u,v] = [2^{-1/2},i2^{-1/2}] \Rightarrow B-C=0;
所以必有SS^\dagger = 1。而SS^\dagger=1也是充分的,足以保证|u|^2 + |v|^2=1在变换前后不变。
这样的S构成U(2)群,因为单位元、封闭性、结合律、逆元都满足。以U来标记,大概是unitary,即幺正性。
很显然,如果勒令S的元素都是实数,则构成子群O(2),O大概是orthogonal的缩写,即正交性。
要使得SS^\dagger=1,即
即等价于:(a,c)幺模,(b,d)幺模,(a,c)与(b,d)內积为0,即正交,这里內积定义为
\begin{equation}
(a,c) \cdot (b,d) = ab^* + cd^*.
\end{equation}
所以可以定义a = \cos \theta e^{i\alpha}, c = \sin\theta e^{i\gamma}, b = \sin \phi e^{i\delta}, d = \cos \phi e^{i (\beta - \alpha)},其中\theta,\phi都在[0,\pi/2]中取值,辐角这么安排只是为了和Joshi的书保持一致,方便后面的笔记叙述。毕竟只要\alpha, \beta, \gamma, \delta取值范围是2\pi长的区间,a,b,c,d的相位就具有一般性。
\theta和\phi的设置满足了两个幺模性,而(a,c)与(b,d)正交,则是
把左边第二项移到右边,然后两边取模,得到\cos\theta \sin\phi = \sin\theta\cos\phi,考虑到它们的取值范围,则有\phi = \theta,所以上式即
即
所以最终
显然有|S| = e^{i\beta}。
a,b受|a|^2 + |b|^2 = 1的约束,所以共有三个自由度。
如果\beta = 0,即|S| = 1,则S构成SU(2)群。S大概是special,即特殊的幺正群,
考虑二维复矢量[u,v]的函数
\begin{equation}
f^m_j = \frac{ u^{j+m} v^{j-m} }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} }, ~~~ 2j = 0,1,2,\cdots, ~~~ m = -j, -j+1, \cdots, j,
\end{equation}
因为u^{j+m}v^{j-m}整体的幂次是2j,对[u,v]做了线性变换以后,u',v'是u,v的线性叠加,那么u'^{j+m} v'^{j-m}仍然是u,v的2j齐次型,所以f^m_j在变换之后,是f^{m'}_j的线性叠加。
也就是说,在u,v进行线性变换时,f^m_j构成一个2j+1阶的封闭空间。
那么,以f^m_j为基矢,就可以构造线性变换矩阵,与u,v的线性变换相对应。
这样的矩阵,就是U(2)群元的表示,如果是SU(2)群元,就是SU(2)的表示。
用R(a,b)标记这个线性变换,对应S=[\begin{smallmatrix} a & -b^*\\ b & a^* \end{smallmatrix}],则有
\begin{equation}
R(a,b) f^m_j = \frac{ 1 }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} } (au + bv)^{j+m} (-b^* u + a^* v)^{j-m},
\end{equation}
将上式展开,经过计算整理,得到
其中
k使得所有阶乘的宗量不小于0,这样来确定它的求和范围。
注意到,如果(u,v)的模方不变,f^m_j作为一个2j+1维矢量,它的模方是不变的
所以D^j_{m' m}(a,b)是一个幺正矩阵表示。
另外(unchecked),用舒尔引理的逆命题可以证明,D^j_{m'm}(a,b)是一个不可约表示。Joshi还声称它是SU(2)唯一的2j+1维不可约表示,这一点我没有理解。
因为线性变换的“乘法”对应着上文中矩阵S的乘法,所以SU(2)群中的共轭群元一定有相同的特征值。
有完全相同特征值的S矩阵也一定是相似的,对应共轭群元。
所以,考虑SU(2)群的类,只需按特征值划分。
而矩阵S的特征方程为
\begin{equation}
\lambda^2 - (a + a^*) \lambda + 1 =0,
\end{equation}
只与a的实部有关。
所以,所有a的实部相同的SU(2)元素构成一类。
因为D^j_{m'm}(a,b)是同构的幺正不可约矩阵群,所以类结构也会映射过来,即所有a的实部相同的D^j_{m'm}(a,b)构成一类,相应的特征标为
既然SU(2)线性变换矩阵S \equiv \begin{bmatrix} a & -b^* \\ b & a^* \end{bmatrix}与上面定义的D矩阵同构,研究某一个D矩阵表示,即可等价地研究SU(2)群。
那么不妨看D^1矩阵,即j=1,m=-1,0,1三维矩阵,函数基矢f^m_j是
相应的D矩阵很容易得到
即
D^1是一个复数矩阵,但是可以通过幺正变换,变成实数矩阵。定义
则有
这是一个实数矩阵,而且行列式为1,所以实际上是SO(3)群的一个群元。
这意味着,每一个SU(2)的群元都对应着唯一的一个SO(3)的群元。
不改变3维矢量长度的线性变换构成O(3)群,线性变换矩阵的行列式为 1 而不是 -1 的,则构成SO(3)群。
为何 SO(3) 群就是转动群?
首先,每一个转动变换矩阵一定是SO(3)的群元。
齐次,SO(3)的矩阵都对应着转动变换。
对任意SO(3)中的群元R,坐标系按R转动时,一个矢量\vec{r} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z的坐标变化为
\begin{equation}
(x',y',z') = (x,y,z)R,
\end{equation}
因为R R^\top = 1,所以变换前后矢量长度不变。
任意两个矢量的內积为
\begin{equation}
\vec{\alpha'}^\top \vec{\beta'} = \vec{\alpha}^\top R R^\top \vec{\beta} = \vec{\alpha}^\top \vec{\beta}
\end{equation}
两个矢量的外积与第三个矢量的点乘,反映了它们之间的手征关系,
\begin{equation}
(\vec{\alpha'} \times \vec{\beta'}) \cdot \vec{\gamma'}
= \alpha_l R_{li} \beta_m R_{mj} \gamma_n R_{nk} \epsilon_{ijk}
= \alpha_l \beta_m \gamma_n \epsilon_{lmn} = (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) \cdot \vec{\gamma},
\end{equation}
上式第二个等号使用了R的行列式为1。
有长度、內积、外积不变,即可说明SO(3)的任何一个元素都对应着转动。
因为长度、內积、外积不变,说明刚体上每一个点之间的相对位置都没有变。
以前我用几何的方法证明过,共原点的任意两个右手系,都可以通过唯一一次定轴转动相联系。
用三个欧拉角所标定的三次转动,也可以连接共原点的任意两个右手系。
所以,任意转动变换有两种表述,一个是定轴转动,一个是欧拉角的三次定轴转动。
任意的定轴转动,不妨设转轴为\vec{u},绕\vec{u}转角d\phi以后,任意一点\vec{r}的变化量为
注意,这里我使用了“坐标轴转动”的约定,与Joshi一致。
所以,生成元I作用在三维空间的任意标量函数f(\vec{r})上,有
\begin{equation}
I f(\vec{r}) = \lim\limits_{d\phi \rightarrow 0} \frac{1}{i d\phi} [ f(\vec{r} - d\phi \vec{u} \times \vec{r} ) - f(\vec{r}) ]
= i (\vec{u} \times \vec{r}) \cdot \vec{\nabla} f
= \vec{u} \cdot (\vec{r} \times i \vec{\nabla} ) f
= -\vec{u} \cdot \vec{L} / \hbar f
\end{equation}
所以一般地,转动变换可以表示为
\begin{equation}
R_{\vec{u}}(\phi) = e^{i\phi I} = e^{-i \phi \vec{u} \cdot \vec{L}/\hbar}.
\end{equation}
从这个角度,也可以理解,在转动变换下,球谐函数Y_{lm}(\theta, \phi), m=-l, \cdots,l构成不变子空间,因为R_{\vec{u}}(\phi)与L^2是对易的。
用欧拉角的表示方法,则是
\begin{equation}
R(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha)
\end{equation}
其中
R_{\vec{u}}(\phi)与R_{\vec{e}_z}(\phi)是相似的。可以取\vec{u} \times \vec{e}_z,绕它转动使\vec{e}_z与\vec{u}重合,然后转过\phi角,再绕\vec{u} \times \vec{e}_z,将\vec{u}转回\vec{e}_z角,会发现整套操作与R_{\vec{e}_z}(\phi)相同。
所以,所有转角相同的定轴转动属于同一个类。
7 SO(3)群的表示用欧拉角标记,
这样构成一个2l+1维的不可约表示D^l_{m',m}。
球谐函数的定义为(参考Arfken&Weber书的约定)
\begin{equation}
Y^m_n(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{ (2n+1)(n-m)! }{ 4\pi (n+m)! } } P^m_n(\cos \theta) e^{im \phi},
\end{equation}
所以有
\begin{equation}
R_z(\alpha) Y^m_l(\theta, \phi) = e^{-im\alpha} Y^m_l(\theta, \phi),
\end{equation}
所以D^l(R_z(\alpha))的特征标为
\begin{equation}
\chi^l(\alpha) = \frac{ \sin(l+1/2)\alpha }{ \sin \alpha/2 }.
\end{equation}
我们回到第4节构造的SU(2)与SO(3)的联系,如果令U^\dagger D^1 U=R_z(\alpha),经过计算,会发现,这等价于要求a=\pm e^{i\alpha/2}, b = 0;
如果令U^\dagger D^1 U=R_y(\beta),则会发现,这等价于要求a=\pm \cos \beta/2, b= \pm \sin \beta/2。
所以,应用于欧拉角标记下的R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha),则会得到
所以每个SO(3)的元素对应两个SU(2)的元素(相差一个负号)。
9 SO(3)群的矩阵表示把a = \pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2}, b=\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}带入第三节D^j_{m'm}的表达式,可以得到
\begin{equation}
D^j_{m' m}(\pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2},\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2})
= \sum_k (-1)^{m'-m+k} \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! }
e^{im\alpha} e^{im'\gamma}
(\pm \cos \frac{\beta}{2})^{2j+m-m'-2k} (\pm \sin \frac{\beta}{2})^{m'-m+2k}.
\end{equation}
可以看出来,j是整数时,\pm符号对最终结果没有影响,是一个单值表示,而j是半整数时,D^j_{m'm}也有\pm符号,是所谓双值表示。
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