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SU(2),SO(3)群笔记

这个笔记的思路有点乱糟糟,但是记录了我以前的一些计算。以后估计还会有用,所以先贴在这里。

1 U(2)群

二维复矢量空间中的线性变换为

[u,v]=[u,v]S=[u,v][acbd]

如果保证变换前后矢量的模方不变,即

|u|2+|v|2=|u|2+|v|2

[u,v][uv]=[u,v]SS[uv]

对任意u,v都成立.
可以证明,“保证变换前后矢量模方不变”“变换矩阵S是幺正的,即SS=1”。记

SS=[ABCD]

然后取如下情况,

1)取 [u,v]=[1,0]A=1;

2)取 [u,v]=[0,1]D=1;

3)取 [u,v]=[21/2,21/2]B+C=0;

4)取 [u,v]=[21/2,i21/2]BC=0;

所以必有SS=1。而SS=1也是充分的,足以保证|u|2+|v|2=1在变换前后不变。

这样的S构成U(2)群,因为单位元、封闭性、结合律、逆元都满足。以U来标记,大概是unitary,即幺正性。
很显然,如果勒令S的元素都是实数,则构成子群O(2)O大概是orthogonal的缩写,即正交性。

要使得SS=1,即

SS=[acbd][abcd]=1,

即等价于:(a,c)幺模,(b,d)幺模,(a,c)与(b,d)內积为0,即正交,这里內积定义为
(a,c)(b,d)=ab+cd.
所以可以定义a=cosθeiα,c=sinθeiγ,b=sinϕeiδ,d=cosϕei(βα),其中θ,ϕ都在[0,π/2]中取值,辐角这么安排只是为了和Joshi的书保持一致,方便后面的笔记叙述。毕竟只要α,β,γ,δ取值范围是2π长的区间,a,b,c,d的相位就具有一般性。
θϕ的设置满足了两个幺模性,而(a,c)与(b,d)正交,则是

cosθsinϕei(αδ)+sinθcosϕei(γ+αβ)=0,

把左边第二项移到右边,然后两边取模,得到cosθsinϕ=sinθcosϕ,考虑到它们的取值范围,则有ϕ=θ,所以上式即

αδ=γ+αβ+(2k+1)π,kZ,

δ=βγ(2k+1)π,kZ,

所以最终

S=[cosθeiαsinθeiγsinθei(βγ)cosθei(βα)]

显然有|S|=eiβ
a,b|a|2+|b|2=1的约束,所以共有三个自由度。

2 SU(2)群

如果β=0,即|S|=1,则S构成SU(2)群。S大概是special,即特殊的幺正群,

S=[cosθeiαsinθeiγsinθei(γ)cosθei(α)]=[abba]

3 SU(2)群的不可约表示

考虑二维复矢量[u,v]的函数
fmj=uj+mvjm[(j+m)!(jm)!]1/2,   2j=0,1,2,,   m=j,j+1,,j,
因为uj+mvjm整体的幂次是2j,对[u,v]做了线性变换以后,u,vu,v的线性叠加,那么uj+mvjm仍然是u,v2j齐次型,所以fmj在变换之后,是fmj的线性叠加。
也就是说,在u,v进行线性变换时,fmj构成一个2j+1阶的封闭空间。
那么,以fmj为基矢,就可以构造线性变换矩阵,与u,v的线性变换相对应。
这样的矩阵,就是U(2)群元的表示,如果是SU(2)群元,就是SU(2)的表示。
R(a,b)标记这个线性变换,对应S=[abba],则有
R(a,b)fmj=1[(j+m)!(jm)!]1/2(au+bv)j+m(bu+av)jm,
将上式展开,经过计算整理,得到

R(a,b)fmj=jm=jfmjDjmm(a,b),

其中

Djmm(a,b)=k[(j+m)!(jm)!(j+m)!(jm)!]1/2(j+mk)!k!(jmk)!(mm+k)!aj+mk(a)jmkbk(b)mm+k.

k使得所有阶乘的宗量不小于0,这样来确定它的求和范围。

注意到,如果(u,v)的模方不变,fmj作为一个2j+1维矢量,它的模方是不变的

m|fmj|2=1(2j)!(|u|2+|v|2)2j,

所以Djmm(a,b)是一个幺正矩阵表示。
另外(unchecked),用舒尔引理的逆命题可以证明,Djmm(a,b)是一个不可约表示。Joshi还声称它是SU(2)唯一的2j+1维不可约表示,这一点我没有理解。

因为线性变换的“乘法”对应着上文中矩阵S的乘法,所以SU(2)群中的共轭群元一定有相同的特征值。
有完全相同特征值的S矩阵也一定是相似的,对应共轭群元。
所以,考虑SU(2)群的类,只需按特征值划分。
而矩阵S的特征方程为
λ2(a+a)λ+1=0,
只与a的实部有关。
所以,所有a的实部相同的SU(2)元素构成一类。
因为Djmm(a,b)是同构的幺正不可约矩阵群,所以类结构也会映射过来,即所有a的实部相同的Djmm(a,b)构成一类,相应的特征标为

χj(eiα/2,0)=jm=jDjmm(eiα/2,0)=sin(j+12)αsin12α.

4 SU(2)到SO(3)群的同态

既然SU(2)线性变换矩阵S[abba]与上面定义的D矩阵同构,研究某一个D矩阵表示,即可等价地研究SU(2)群。
那么不妨看D1矩阵,即j=1,m=1,0,1三维矩阵,函数基矢fmj

{x1=u2/2,x2=uv,x3=v2/2

相应的D矩阵很容易得到

{x1=R(a,b)x1=a2x1+2abx2+b2x3,x2=R(a,b)x2=2abx1+(aabb)x2+2abx3,x3=R(a,b)x3=(b)2x12abx2+(a)2x3.

D1=[a22ab(b)22ab(aabb)2abb22ab(a)2],    R(a,b)(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)D1

D1是一个复数矩阵,但是可以通过幺正变换,变成实数矩阵。定义

U=[12i2112i2]

则有

UD1U=[12(a2+(a)2b2(b)2)i2(a2(a)2b2+(b)2)ab+abi2(a2(a)2+b2(b)2)12(a2+(a)2+b2+(b)2)i(abab)ab+abi(abab)aabb]

这是一个实数矩阵,而且行列式为1,所以实际上是SO(3)群的一个群元。
这意味着,每一个SU(2)的群元都对应着唯一的一个SO(3)的群元。

5 SO(3)群

不改变3维矢量长度的线性变换构成O(3)群,线性变换矩阵的行列式为 1 而不是 -1 的,则构成SO(3)群。
为何 SO(3) 群就是转动群?
首先,每一个转动变换矩阵一定是SO(3)的群元。
齐次,SO(3)的矩阵都对应着转动变换。
对任意SO(3)中的群元R,坐标系按R转动时,一个矢量r=xex+yey+zez的坐标变化为
(x,y,z)=(x,y,z)R,
因为RR=1,所以变换前后矢量长度不变。
任意两个矢量的內积为
αβ=αRRβ=αβ
两个矢量的外积与第三个矢量的点乘,反映了它们之间的手征关系,
(α×β)γ=αlRliβmRmjγnRnkϵijk=αlβmγnϵlmn=(α×β)γ,
上式第二个等号使用了R的行列式为1。
有长度、內积、外积不变,即可说明SO(3)的任何一个元素都对应着转动。
因为长度、內积、外积不变,说明刚体上每一个点之间的相对位置都没有变。

6 SO(3)群的群元

以前我用几何的方法证明过,共原点的任意两个右手系,都可以通过唯一一次定轴转动相联系。
用三个欧拉角所标定的三次转动,也可以连接共原点的任意两个右手系。
所以,任意转动变换有两种表述,一个是定轴转动,一个是欧拉角的三次定轴转动。

任意的定轴转动,不妨设转轴为u,绕u转角dϕ以后,任意一点r的变化量为

dϕu×r

注意,这里我使用了“坐标轴转动”的约定,与Joshi一致。
所以,生成元I作用在三维空间的任意标量函数f(r)上,有
If(r)=lim
所以一般地,转动变换可以表示为
\begin{equation} R_{\vec{u}}(\phi) = e^{i\phi I} = e^{-i \phi \vec{u} \cdot \vec{L}/\hbar}. \end{equation}
从这个角度,也可以理解,在转动变换下,球谐函数Y_{lm}(\theta, \phi), m=-l, \cdots,l构成不变子空间,因为R_{\vec{u}}(\phi)L^2是对易的。

用欧拉角的表示方法,则是
\begin{equation} R(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha) \end{equation}
其中

R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

R_{\vec{u}}(\phi)R_{\vec{e}_z}(\phi)是相似的。可以取\vec{u} \times \vec{e}_z,绕它转动使\vec{e}_z\vec{u}重合,然后转过\phi角,再绕\vec{u} \times \vec{e}_z,将\vec{u}转回\vec{e}_z角,会发现整套操作与R_{\vec{e}_z}(\phi)相同。

所以,所有转角相同的定轴转动属于同一个类。

7 SO(3)群的表示

用欧拉角标记,

R(\alpha, \beta, \gamma) Y^m_l (\theta, \phi) = \sum^l_{m'=-l} Y^{m'}_l(\theta, \phi) D^l_{m',m}(\alpha, \beta, \gamma),

这样构成一个2l+1维的不可约表示D^l_{m',m}

球谐函数的定义为(参考Arfken&Weber书的约定)
\begin{equation} Y^m_n(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{ (2n+1)(n-m)! }{ 4\pi (n+m)! } } P^m_n(\cos \theta) e^{im \phi}, \end{equation}
所以有
\begin{equation} R_z(\alpha) Y^m_l(\theta, \phi) = e^{-im\alpha} Y^m_l(\theta, \phi), \end{equation}
所以D^l(R_z(\alpha))的特征标为
\begin{equation} \chi^l(\alpha) = \frac{ \sin(l+1/2)\alpha }{ \sin \alpha/2 }. \end{equation}

8 SO(3)群到SU(2)群的同态

我们回到第4节构造的SU(2)与SO(3)的联系,如果令U^\dagger D^1 U=R_z(\alpha),经过计算,会发现,这等价于要求a=\pm e^{i\alpha/2}, b = 0
如果令U^\dagger D^1 U=R_y(\beta),则会发现,这等价于要求a=\pm \cos \beta/2, b= \pm \sin \beta/2
所以,应用于欧拉角标记下的R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha),则会得到

\pm \begin{bmatrix} \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2} & -\sin \beta/2 e^{i(\gamma-\alpha)/2} \\ \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2} & \cos \beta/2 e^{-i(\alpha-\gamma)/2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow R(\alpha, \beta, \gamma)

所以每个SO(3)的元素对应两个SU(2)的元素(相差一个负号)。

9 SO(3)群的矩阵表示

a = \pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2}, b=\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}带入第三节D^j_{m'm}的表达式,可以得到
\begin{equation} D^j_{m' m}(\pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2},\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}) = \sum_k (-1)^{m'-m+k} \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! } e^{im\alpha} e^{im'\gamma} (\pm \cos \frac{\beta}{2})^{2j+m-m'-2k} (\pm \sin \frac{\beta}{2})^{m'-m+2k}. \end{equation}
可以看出来,j是整数时,\pm符号对最终结果没有影响,是一个单值表示,而j是半整数时,D^j_{m'm}也有\pm符号,是所谓双值表示。

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