SU(2),SO(3)群笔记
这个笔记的思路有点乱糟糟,但是记录了我以前的一些计算。以后估计还会有用,所以先贴在这里。
1 U(2)群二维复矢量空间中的线性变换为
如果保证变换前后矢量的模方不变,即
即
对任意u,v都成立.
可以证明,“保证变换前后矢量模方不变”⇔“变换矩阵S是幺正的,即SS†=1”。记
然后取如下情况,
1)取 [u,v]=[1,0]⇒A=1;
2)取 [u,v]=[0,1]⇒D=1;
3)取 [u,v]=[2−1/2,2−1/2]⇒B+C=0;
4)取 [u,v]=[2−1/2,i2−1/2]⇒B−C=0;
所以必有SS†=1。而SS†=1也是充分的,足以保证|u|2+|v|2=1在变换前后不变。
这样的S构成U(2)群,因为单位元、封闭性、结合律、逆元都满足。以U来标记,大概是unitary,即幺正性。
很显然,如果勒令S的元素都是实数,则构成子群O(2),O大概是orthogonal的缩写,即正交性。
要使得SS†=1,即
即等价于:(a,c)幺模,(b,d)幺模,(a,c)与(b,d)內积为0,即正交,这里內积定义为
(a,c)⋅(b,d)=ab∗+cd∗.
所以可以定义a=cosθeiα,c=sinθeiγ,b=sinϕeiδ,d=cosϕei(β−α),其中θ,ϕ都在[0,π/2]中取值,辐角这么安排只是为了和Joshi的书保持一致,方便后面的笔记叙述。毕竟只要α,β,γ,δ取值范围是2π长的区间,a,b,c,d的相位就具有一般性。
θ和ϕ的设置满足了两个幺模性,而(a,c)与(b,d)正交,则是
把左边第二项移到右边,然后两边取模,得到cosθsinϕ=sinθcosϕ,考虑到它们的取值范围,则有ϕ=θ,所以上式即
即
所以最终
显然有|S|=eiβ。
a,b受|a|2+|b|2=1的约束,所以共有三个自由度。
如果β=0,即|S|=1,则S构成SU(2)群。S大概是special,即特殊的幺正群,
考虑二维复矢量[u,v]的函数
fmj=uj+mvj−m[(j+m)!(j−m)!]1/2, 2j=0,1,2,⋯, m=−j,−j+1,⋯,j,
因为uj+mvj−m整体的幂次是2j,对[u,v]做了线性变换以后,u′,v′是u,v的线性叠加,那么u′j+mv′j−m仍然是u,v的2j齐次型,所以fmj在变换之后,是fm′j的线性叠加。
也就是说,在u,v进行线性变换时,fmj构成一个2j+1阶的封闭空间。
那么,以fmj为基矢,就可以构造线性变换矩阵,与u,v的线性变换相对应。
这样的矩阵,就是U(2)群元的表示,如果是SU(2)群元,就是SU(2)的表示。
用R(a,b)标记这个线性变换,对应S=[a−b∗ba∗],则有
R(a,b)fmj=1[(j+m)!(j−m)!]1/2(au+bv)j+m(−b∗u+a∗v)j−m,
将上式展开,经过计算整理,得到
其中
k使得所有阶乘的宗量不小于0,这样来确定它的求和范围。
注意到,如果(u,v)的模方不变,fmj作为一个2j+1维矢量,它的模方是不变的
所以Djm′m(a,b)是一个幺正矩阵表示。
另外(unchecked),用舒尔引理的逆命题可以证明,Djm′m(a,b)是一个不可约表示。Joshi还声称它是SU(2)唯一的2j+1维不可约表示,这一点我没有理解。
因为线性变换的“乘法”对应着上文中矩阵S的乘法,所以SU(2)群中的共轭群元一定有相同的特征值。
有完全相同特征值的S矩阵也一定是相似的,对应共轭群元。
所以,考虑SU(2)群的类,只需按特征值划分。
而矩阵S的特征方程为
λ2−(a+a∗)λ+1=0,
只与a的实部有关。
所以,所有a的实部相同的SU(2)元素构成一类。
因为Djm′m(a,b)是同构的幺正不可约矩阵群,所以类结构也会映射过来,即所有a的实部相同的Djm′m(a,b)构成一类,相应的特征标为
既然SU(2)线性变换矩阵S≡[a−b∗ba∗]与上面定义的D矩阵同构,研究某一个D矩阵表示,即可等价地研究SU(2)群。
那么不妨看D1矩阵,即j=1,m=−1,0,1三维矩阵,函数基矢fmj是
相应的D矩阵很容易得到
即
D1是一个复数矩阵,但是可以通过幺正变换,变成实数矩阵。定义
则有
这是一个实数矩阵,而且行列式为1,所以实际上是SO(3)群的一个群元。
这意味着,每一个SU(2)的群元都对应着唯一的一个SO(3)的群元。
不改变3维矢量长度的线性变换构成O(3)群,线性变换矩阵的行列式为 1 而不是 -1 的,则构成SO(3)群。
为何 SO(3) 群就是转动群?
首先,每一个转动变换矩阵一定是SO(3)的群元。
齐次,SO(3)的矩阵都对应着转动变换。
对任意SO(3)中的群元R,坐标系按R转动时,一个矢量→r=x→ex+y→ey+z→ez的坐标变化为
(x′,y′,z′)=(x,y,z)R,
因为RR⊤=1,所以变换前后矢量长度不变。
任意两个矢量的內积为
→α′⊤→β′=→α⊤RR⊤→β=→α⊤→β
两个矢量的外积与第三个矢量的点乘,反映了它们之间的手征关系,
(→α′×→β′)⋅→γ′=αlRliβmRmjγnRnkϵijk=αlβmγnϵlmn=(→α×→β)⋅→γ,
上式第二个等号使用了R的行列式为1。
有长度、內积、外积不变,即可说明SO(3)的任何一个元素都对应着转动。
因为长度、內积、外积不变,说明刚体上每一个点之间的相对位置都没有变。
以前我用几何的方法证明过,共原点的任意两个右手系,都可以通过唯一一次定轴转动相联系。
用三个欧拉角所标定的三次转动,也可以连接共原点的任意两个右手系。
所以,任意转动变换有两种表述,一个是定轴转动,一个是欧拉角的三次定轴转动。
任意的定轴转动,不妨设转轴为→u,绕→u转角dϕ以后,任意一点→r的变化量为
注意,这里我使用了“坐标轴转动”的约定,与Joshi一致。
所以,生成元I作用在三维空间的任意标量函数f(→r)上,有
If(→r)=lim
所以一般地,转动变换可以表示为
\begin{equation}
R_{\vec{u}}(\phi) = e^{i\phi I} = e^{-i \phi \vec{u} \cdot \vec{L}/\hbar}.
\end{equation}
从这个角度,也可以理解,在转动变换下,球谐函数Y_{lm}(\theta, \phi), m=-l, \cdots,l构成不变子空间,因为R_{\vec{u}}(\phi)与L^2是对易的。
用欧拉角的表示方法,则是
\begin{equation}
R(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha)
\end{equation}
其中
R_{\vec{u}}(\phi)与R_{\vec{e}_z}(\phi)是相似的。可以取\vec{u} \times \vec{e}_z,绕它转动使\vec{e}_z与\vec{u}重合,然后转过\phi角,再绕\vec{u} \times \vec{e}_z,将\vec{u}转回\vec{e}_z角,会发现整套操作与R_{\vec{e}_z}(\phi)相同。
所以,所有转角相同的定轴转动属于同一个类。
7 SO(3)群的表示用欧拉角标记,
这样构成一个2l+1维的不可约表示D^l_{m',m}。
球谐函数的定义为(参考Arfken&Weber书的约定)
\begin{equation}
Y^m_n(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{ (2n+1)(n-m)! }{ 4\pi (n+m)! } } P^m_n(\cos \theta) e^{im \phi},
\end{equation}
所以有
\begin{equation}
R_z(\alpha) Y^m_l(\theta, \phi) = e^{-im\alpha} Y^m_l(\theta, \phi),
\end{equation}
所以D^l(R_z(\alpha))的特征标为
\begin{equation}
\chi^l(\alpha) = \frac{ \sin(l+1/2)\alpha }{ \sin \alpha/2 }.
\end{equation}
我们回到第4节构造的SU(2)与SO(3)的联系,如果令U^\dagger D^1 U=R_z(\alpha),经过计算,会发现,这等价于要求a=\pm e^{i\alpha/2}, b = 0;
如果令U^\dagger D^1 U=R_y(\beta),则会发现,这等价于要求a=\pm \cos \beta/2, b= \pm \sin \beta/2。
所以,应用于欧拉角标记下的R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha),则会得到
所以每个SO(3)的元素对应两个SU(2)的元素(相差一个负号)。
9 SO(3)群的矩阵表示把a = \pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2}, b=\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}带入第三节D^j_{m'm}的表达式,可以得到
\begin{equation}
D^j_{m' m}(\pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2},\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2})
= \sum_k (-1)^{m'-m+k} \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! }
e^{im\alpha} e^{im'\gamma}
(\pm \cos \frac{\beta}{2})^{2j+m-m'-2k} (\pm \sin \frac{\beta}{2})^{m'-m+2k}.
\end{equation}
可以看出来,j是整数时,\pm符号对最终结果没有影响,是一个单值表示,而j是半整数时,D^j_{m'm}也有\pm符号,是所谓双值表示。
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