壳模型相互作用格式分好几种，令人头疼。isospin格式是通用的，但是pn格式各家有不同的约定，主要是质子-中子相互作用的约定不同。NuShellX 使用 upn 格式，BigStick使用 xpn 格式，我的配对近似程序使用的是普通的 pn 格式。过去我一直以为我的 pn 格式就是 xpn 格式，现在发现不是的。。。这也是很无语。还好我的计算都是从 isospin 格式转成 pn 格式，然后转成 jPQ 格式，内部的处理是自洽的。计算 sum rule 的时候也是这样做，所以过去的工作这方面是自洽的。但是问题是，我的求和规则代码 PandasCommute 声称使用的是 xpn 格式，但是实际上使用的是 pn 格式，所以如果有人使用我的代码，就可能会出问题。综合这些情况，这里做一个笔记，列出主要的公式，记下重要的不同。
1. isospin 格式
在 isospin (同位旋)格式中，壳模型哈密顿量写作
\[H = \sum_a \epsilon_a n_a + \sum_{abcd} \frac{\sqrt{(1+\delta_{ab})(1+\delta_{cd})}}{4}
\sum_{I T} V(abcd;IT) \sum_{M, M_T} A^\dagger_{I M; T M_T}(ab) A_{IM;T M_T}(cd),
\]
这里
\[A^\dagger_{IM;TM_T}(ab) = \sum_{m_a m_b \tau_a \tau_b} C^{IM}_{j_a m_a, j_b m_b}
C^{T M_T}_{\frac{1}{2} \tau_a, \frac{1}{2} \tau_b}
c^\dagger_{j_a m_a; \frac{1}{2} \tau_a} c^\dagger_{j_b m_b; \frac{1}{2} \tau_b},\\
A_{IM;TM_T}(cd) = \sum_{m_c m_d \tau_c \tau_d} C^{IM}_{j_c m_c, j_d m_d}
C^{T M_T}_{\frac{1}{2} \tau_c, \frac{1}{2} \tau_d}
c_{j_d m_d; \frac{1}{2} \tau_d} c_{j_c m_c; \frac{1}{2} \tau_c},
\]
\(C^{IM}_{j_a m_a, j_b m_b}\) 是 Clebsch-Gordan 系数, \(\tau_a, \tau_b, \tau_c, \tau_d\) 是同位旋第3分量, 中子是\(\frac{1}{2}\)质子是\(-\frac{1}{2}\)。
两体相互作用矩阵元有对称性
\[V(abcd;IT) = (-1)^{ j_a + j_b + I + T}V(bacd;IT)
= (-1)^{ j_c + j_d + I + T}V(abdc;IT)
= (-1)^{j_a + j_b + j_c + j_d} V(badc;IT), \\
V(abcd;IT) = V(cdab;IT).
\]
2. xpn 格式
在 pn 格式下，哈密顿量写作
\[\begin{align}
H = & H_0 + H_{pp} + H_{nn} + H_{pn} \\
& = \sum_{a \in \pi} \epsilon_a n_a + \sum_{a \in \nu} \epsilon_a n_a \\
& + \sum_{abcd \in \pi} \frac{\sqrt{(1+\delta_{ab})(1+\delta_{cd})}}{4}
\sum_{I} V_{pp}(abcd;I) \sum_{M} A^\dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \\
& + \sum_{abcd \in \nu} \frac{\sqrt{(1+\delta_{ab})(1+\delta_{cd})}}{4}
\sum_{I} V_{nn}(abcd;I) \sum_{M} A^\dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \\
& + \sum_{ac\in \pi, bd \in \nu,I} V_{pn}(abcd;I)
\sum_{M} A^{\dagger}_{IM}(a b)
A_{IM}(cd).
\end{align}
\]
这里的对产生、对湮灭算符为
\[A^\dagger_{IM}(ab) = \sum_{m_a m_b} C^{IM}_{j_a m_a, j_b m_b}
c^\dagger_{j_a m_a} c^\dagger_{j_b m_b},~~~~A_{IM}(cd) = \sum_{m_c m_d \tau_c \tau_d} C^{IM}_{j_c m_c, j_d m_d}
c_{j_d m_d} c_{j_c m_c}.
\]
与同位旋有关的CG系数为
\[C^{1,1}_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}; \frac{1}{2},\frac{1}{2}}
= C^{1,-1}_{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} =1,
~~~~~
C^{1,0}_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}; \frac{1}{2},-\frac{1}{2}}
= C^{1,0}_{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}, \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},\\
C^{0,0}_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}; \frac{1}{2},-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},
\hspace{1cm}
C^{0,0}_{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}, \frac{1}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}},
\]
利用这几个CG系数，我们可以用isospin格式中的\(V(abcd;JT)\)表达上面的\(V_{pp},V_{nn},V_{pn}\)：
\[V_{pp}(a_\pi b_\pi c_\pi d_\pi;J) = V_{nn}(a_\nu b_\nu c_\nu d_\nu) = V(abcd;J,T=1)\\
V_{pn}(a_\pi b_\nu c_\pi d_\nu;I) = \frac{ \sqrt{ (1+\delta_{ab}) (1+\delta_{cd}) } }{ 2 }
[V(abcd;I T=1) + V(abcd;I T=0) ].
\]
3. upn 格式
NushellX使用：
\[V^{upn}(a_\pi b_\nu c_\pi d_\nu;I) = V(abcd;I T=1) + V(abcd;I T=0) = \frac{2}{ \sqrt{ (1+\delta_{ab}) (1+\delta_{cd}) } }V_{xpn}(a_\pi b_\nu c_\pi d_\nu;I).
\]
所以有
\[V^{upn}(a_\pi b_\nu c_\pi d_\nu;I) \geq V_{xpn}(a_\pi b_\nu c_\pi d_\nu;I).
\]
据说\(V^{xpn}\)是归一化的矩阵元，可能是\(\langle a_\pi b_\nu | V | c_\pi d_\nu \rangle\) 计算中的左矢右矢归一化了，我没有去check这个。
4. 质子中子当成一种粒子的不同轨道
我有一个不成熟的想法，举个例子，把 \(sd\) 壳里的三根质子轨道 \(1s_{1/2}, 0d_{3/2}, 0d_{5/2}\) 和中子的这三根轨道放在一起，形成一共 6 根轨道。然后在这 6 根轨道构成的空间上，考虑１种粒子，进行壳模型对角化求解。
那么，会得到什么呢？据我目测，因为壳模型哈密顿量有好的同位旋，所以这样对角化，如果有12个价核子，则会得到 sd 壳 A=28 的所有 isobar 的能谱。也就是，除了 T>=1 的能谱都会有多重简并。
我们可以先验证这个。
然后就可以为所欲为，做我们想做的事了：质子－中子对凝聚截断。上面之所以得到很多简并能谱，是因为质子数、中子数没有给定。如果我们专注于Si28，即 Np = Nn = 6 这个核，可以考虑 (pn)^6 这样的质子-中子对凝聚组态。然后进行变分，优化到能量最低，然后考虑这样的问题：
- 这个(pn)\(^6\) 的态，和 (pp)\(^3\)(nn)\(^3\) 的态是一样的吗？
- 如果不一样，那么可以把这两个态放在一起进行投影，看看能把能谱改进多少
- 读一下质子-中子配对的文章(尤其是Sandulescu)，做做比较和分析，看看情况怎么样，以及我们还能讨论什么不一样的可观测量。
