欧拉角、转动算符
在《分析力学》中我们接触过，三个欧拉角 \(\alpha,\beta,\gamma\) 唯一地确定一个定点转动。写成转动算符即
\begin{equation}
\hat{R}(\alpha, \beta, \gamma) = e^{ i\alpha \hat{J}_z }
e^{ i\beta \hat{J}_y }
e^{ i\gamma \hat{J}_z }.
\end{equation}
其中三个指数部分，从右往左分别是绕 \(z\) 轴旋转 \(\gamma\)，绕 \(y\) 轴旋转 \(\beta\)，绕 \(z\) 轴旋转 \(\alpha\)。
三个转角的取值范围是 \(\alpha \in [0, 2\pi), \beta \in [0, \pi), \gamma \in [0, 2\pi)\)。
转动算符的矩阵元：D矩阵
在核结构理论中，我们特别关心转动算符在不可约张量 \(|jm\rangle\) 上的矩阵元，即 \(\langle j' m' | \hat{R}(\alpha, \beta, \gamma) | j m \rangle\)。
这里我们定义不可约张量：
\begin{equation}
J_z | j m \rangle = m | j m \rangle,
J_\pm | j m \rangle = \sqrt{ ( j \mp m )( j \pm m + 1 )} | j m \pm 1 \rangle.
\end{equation}
所以很容易得到
\begin{equation}
\langle j m' | \hat{R}(\alpha, \beta, \gamma) | j m \rangle = D^j_{m' m}(\alpha, \beta, \gamma)
= e^{ i m' \alpha } d^j_{m'm}(\beta) e^{ i m \gamma },
\end{equation}
上面我们顺道把 \(D\) 矩阵 \(D^j_{m'm}(\alpha, \beta, \gamma)\) 也定义了，上式中 \(d^j_{m'm}(\beta)\) 定义为
\begin{equation}
d^j_{m'm}(\beta) = \langle j m' | e^{ i\beta \hat{J}_y } | jm \rangle.
\end{equation}
如何求取 Wigner d 函数\(d^j_{m'm}(\beta)\)
不可约张量\(u(jm) \equiv \mathscr{A} \frac{ \chi^{j+m}_+ \chi^{j-m}_- }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} }\)
用一系列 spinor 定义一组特别的基矢 \(u(jm) \equiv \mathscr{A} \frac{ \chi^{j+m}_+ \chi^{j-m}_- }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} }, m = -j, \cdots, j\)，其中\(\mathscr{A}\)是反对称算符，表示\(u(jm)\)是\(2j+1\)个全同spinor的波函数。把\(\hat{J}_x, \hat{J}_y, \hat{J}_z\)分解：
\[\hat{J}_x = \hat{j}^{(1)}_x + \cdots + \hat{j}^{(2j+1)}_x, ~~
\hat{J}_y = \hat{j}^{(1)}_y + \cdots + \hat{j}^{(2j+1)}_y, ~~
\hat{J}_z = \hat{j}^{(1)}_z + \cdots + \hat{j}^{(2j+1)}_z.
\]
其中\(\hat{j}^{(i)}_\alpha\)只作用在第 \(i\) 个 spinor 上。可以证明，在这个约定下，\(u(jm)\)是一个不可约张量。
因为
\[\hat{j}_+ \chi_-= \chi_+, ~~~ \hat{j}_- \chi_+ = \chi_-,
\]
所以经过计算可以得到
\[\hat{J}_z u(jm) = m u(jm), \hat{J}_\pm u(jm) = \sqrt{(j \mp m )(j \pm m +1 )} u(j m \pm 1 ).
\]
在这个特别的不可约球张量下，比较方便求取 Wigner d 函数。
\(e^{\frac{i\beta}{\hbar}\hat{j}_y}\)在\(\chi_+, \chi_-\)上的矩阵元
根据上文，有以下矩阵表示
\[\hat{j}_+ = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}, ~~ \hat{j}_- = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}, ~~ \hat{j}_y = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{bmatrix},
\]
进一步计算可以得到矩阵表示：
\[e^{i\beta \hat{j}_y} = \begin{bmatrix}
cos \frac{\beta}{2} & sin \frac{\beta}{2}\\
-sin \frac{\beta}{2} & cos \frac{\beta}{2}
\end{bmatrix}.
\]
\(e^{\frac{i\beta}{\hbar}\hat{J}_y}\)在\(u(jm)\)上的矩阵元
多体算符可以拆成单体算符之和，所以
\[e^{i\beta \hat{J}_y} = \sum\limits_i e^{i\beta \hat{j}^{(i)}_y},
\]
即
\[e^{ i \beta \hat{J}_y} u(jm) = \mathscr{A} (cos \frac{\beta}{2} \chi_+ - sin \frac{\beta}{2} \chi_-)^{j+m} ( sin \frac{\beta}{2} \chi_+ + cos \frac{\beta}{2} \chi_- )^{j-m} / [ (j+m)! (j-m)! ]^{1/2}.
\]
经过拆解以后，得到
\[e^{ i\beta \hat{J}_y} u(jm) = d^j_{m' m} u(j m'),
\]
其中，\(d^j_{m'm}\)即 Wigner d 矩阵，即
\[d^j_{m'm}(\beta) =
[ \frac{ (j+m')! (j-m')! }{ (j+m)!(j-m)! } ]^{1/2}
\sum_{\sigma} C^{j+m}_{j-m'-\sigma} C^{j-m}_\sigma
(-1)^{j-m'-\sigma} (\cos \beta/2 )^{2\sigma + m'+m} (\sin \beta/2)^{2j - 2\sigma - m' - m}.
\]
对于任意不可约张量，\(e^{\frac{i\beta}{\hbar}\hat{J}_y}\)作用在其上得到的展开系数都是一样的，所以上面的 Wigner d 矩阵是通用的。
将\(d^j_{m'm}\)带入\(D^j_{m'm}\)的表达式就得到了 Wigner D 矩阵。
D 矩阵的正交性
Jacobi多项式
\[P^{(\alpha,\beta)}_n (x) = \frac{ (-1)^n }{ 2^n n! } (1-x)^{-\alpha} (1+x)^{-\beta} \frac{ d^n }{ d x^n } [ (1-x)^{\alpha + n} (1+x)^{\beta + n} ]
\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~ = 2^{-n} \sum_{\nu=0}^n C_\nu^{n+\alpha} C_{n-\nu}^{n+\beta} (x-1)^{n-\nu} (x+1)^\nu,
\]
很容易证明 \(P^{\alpha, \beta}_n (-x) = (-1)^n P^{\beta, \alpha}_n(x)\)。
在 \(\alpha, \beta \in Z; \alpha, \beta \geq 0\) 时，可以用分部积分证明 Jacobi 多项式的正交归一性，如果你不信，可以看我手写的推导。
d矩阵可以表示为Jacobi多项式，不信看笔记：
所以可以得到d矩阵的正交归一性，还不信再看笔记：
即\(m' \geq m\)时
\[\int_0^\pi d_{m' m}^j (\beta) d^{j'}_{m'm} (\beta) sin \beta d \beta = \frac{ 2 \delta_{j j'} }{ 2j+1 }.
\]
这很容易拓展到\(m' < m\)的情况。
d 矩阵的对称性
\[d^j_{m'm}(\beta) = \langle j m' | e^{ \frac{i\beta}{\hbar} \hat{J}_y } | jm \rangle = \langle j m | e^{ \frac{-i\beta}{\hbar} \hat{J}_y } | j m' \rangle = d^j_{mm'}(-\beta),
\]
从 d 矩阵的展开式可以得到
\[d^j_{m' m}(\pi) = (-1)^{j+m} \delta_{m', -m}, d^j_{m' m}(-\pi) = (-1)^{j-m} \delta_{m', -m}.
\]
另外，从
\[d^j_{m'm}(\beta) = \langle j m' | e^{ \frac{i\beta}{\hbar} \hat{J}_y } | jm \rangle,
\]
可以得到
\[d^j_{m'm}(\pi + \beta) = (-1)^{j+m}d^j_{m', -m}(\beta) = (-1)^{j-m'} d^j_{-m', m}(\beta).
\]
进一步得到
\[d^j_{m' m}(\beta)(-1)^{m'-m} = d^j_{-m', -m}(\beta).
\]
从这个关系式，可以将 d 矩阵的正交性从 \(m' \geq m\) 推广到一般情形。
D 矩阵的正交归一性
从 d 矩阵的正交归一性，立即得到了 D 矩阵的正交归一性，
\[\frac{1}{8\pi^2} \int D^j_{m'_1 m'_2}(\Omega)^* D^{j'}_{m_1 m_2} d \Omega = \frac{ \delta_{jj'} \delta_{m'_1 m_1} \delta_{m'_2 m_2}}{ 2j+1}.
\]
投影算符
定义投影算符
\[\hat{P}^J_{LK} = \frac{ 2 J + 1 }{ 8 \pi^2 } \int D^{J *}_{ L K } ( \Omega ) \hat{R}(\Omega) d \Omega,
\]
其中\(\Omega\)代表三个欧拉角，并且约定 \(d \Omega = \sin \beta d \alpha d \beta d \gamma\)。
对于任意一个波函数\(\Phi\)，线性展开为不同阶的不可约张量，
\[| \Phi \rangle = \sum_{IM} c_{IM} | IM \rangle,
\]
将转动算符作用上去，得到
\[\hat{R}(\Omega) | \Phi \rangle = \sum_{IM} c_{IM} \hat{R}(\Omega) | IM \rangle = \sum_{IM} c_{IM} \sum_{M'} D^I_{M'M} | I M \rightarrow M' \rangle,
\]
这里 \(| I M \rightarrow M' \rangle\)是一个\((I,M')\)张量，记上 \(M \rightarrow M^\prime\) 表示这个张量是从\(|IM\rangle\)转动而来，内秉的结构继承自\(|\Phi\rangle\)中\(|IM\rangle\)的成分。
利用\(D\)函数的正交性，投影算符可以从中挑出某一特定角动量的组分。
\[\hat{P}^J_{LK} | \Phi \rangle = \frac{ 2 J + 1 }{ 8 \pi^2 } \int D^{J *}_{ L K } ( \Omega ) \hat{R}(\Omega) | \Phi \rangle d \Omega = c_{JK} | J, K \rightarrow L \rangle.
\]
所以投影算符 \(\hat{P}^J_{LK}\) 挑出的是 \(\Phi\)中\((J,K)\)的组分，并且将其旋转为\((J,L)\)张量。
可以证明，投影算符的逆矩阵为
\[( \hat{P}^J_{LK} )^\dagger = \hat{P}^J_{KL},
\]
投影计算
现在我们假设有一个哈密顿量\(\hat{H}\)，变分（或构造）得到一个波函数\(\Phi\)，我们可以像上面描述的那样，用投影算符挑出rank-J的张量，然后宣布：这些态都是体系的近似波函数。我们还可以更进一步，对于给定的\(J, L\)，投影出：
\[\hat{P}^J_{L, K=-J} | \Phi \rangle,
\hat{P}^J_{L, K=-J+1} | \Phi \rangle,
...,
\hat{P}^J_{L, K=J} | \Phi \rangle,
\]
这\((2J+1)\)个投影基矢张成一个子空间，然后我们在这个子空间内近似对角化哈密顿量，求解 Hill-Wheeler 方程，得到本征态。因为这些基矢都有好量子数\((J,L)\)，所以它们的线性组合自然也有好量子数\((J,L)\)。
若本征函数为
\[\Psi^r_{JL} = \sum_K g^r_{JK} \hat{P}^J_{L, K} \Phi,
\]
其中，\(r=1,\cdots,2J+1\)，分别标记\(2J+1\)个不同的本征态。
展开系数 \(g^r_{JK}\) 从 Hill-Wheeler方程解出，
\[\forall K', \sum_K H^J_{K'K} g^r_{JK} = \epsilon_{r,J} \sum_K N^J_{K'K} g^r_{JK},
\]
其中，
\[H^J_{K'K} = \langle (\hat{P}^J_{L, K'} \Phi ) | \hat{H} | \hat{P}^J_{LK} \Phi \rangle, ~~~~
N^J_{K'K} = \langle \Phi | \hat{P}^J_{LK} \Phi \rangle.
\]
所以这是一个矩阵方程，对应的是\(A\vec{v} = \lambda B \vec{v}\)这种形式的本征值问题。
利用 \(( \hat{P}^J_{LK} )^\dagger = \hat{P}^J_{KL}, \hat{P}^J_{K' L} \hat{P}^J_{LK} = \delta_{KK'}\)，可以得到
\[H^J_{K'K} = \langle \Phi | \hat{H} | \hat{P}^J_{K'K} \Phi \rangle, ~~~~
N^J_{K'K} = \langle \Phi | \hat{P}^J_{K'K} \Phi \rangle.
\]
这两种矩阵元这样计算：
\[H^J_{K'K} = \frac{ 2J+1}{8\pi^2} \int (D^J_{K'K}(\Omega))^* \langle \Phi | \hat{H} \hat{R}(\Omega) | \Phi \rangle, ~~~
N^J_{K'K} = \frac{ 2J+1}{8\pi^2} \int (D^J_{K'K}(\Omega))^* \langle \Phi | \hat{R}(\Omega) | \Phi \rangle.
\]
数值积分都是对\(\alpha, \beta, \gamma\)取离散值，我们把这些离散的欧拉角组合记作\(\Omega_1, \Omega_2, \cdots\)，则上面的积分中都需要使用
\[\langle \Phi | \hat{H} \hat{R}(\Omega_i) | \Phi \rangle, ~~~~ \langle \Phi | \hat{R}(\Omega_i) | \Phi \rangle
\]
这些值，这些值有时也叫“kernel"，计算这些值以后，再把它们带入上面的积分，分别对不同的\(J\)进行投影。
转动波函数 = 转动各个单粒子基
转动算符可以拆解成针对每个单粒子波函数的转动算符的总和，先反对称化再转动，还是先转动还是再反对称化，效果是一样的。所以转动多体波函数 = 转动各个单粒子基。
转动算符在单粒子基上的矩阵元为
\[D_{\alpha \beta} = < n_\alpha l_\alpha j_\alpha m_\alpha | \hat{R} (\Omega) | n_\beta l_\beta j_\beta m_\beta > = \delta_{n_\alpha n_\beta } \delta_{ l_\alpha l_\beta } \delta_{ j_\alpha j_\beta } D^{j_\alpha}_{m_\alpha m_\beta }(\Omega).
\]
对于一个费米子对算符
\[\hat{P}^\dagger = \frac{1}{2} \sum_{\alpha \beta} p_{\alpha \beta} \alpha^\dagger \beta^\dagger,
\]
在转动算符的作用下，变成
\[\hat{P'}^\dagger = \frac{1}{2} \sum_{\alpha \beta} p'_{\alpha \beta} \alpha^\dagger \beta^\dagger,
\]
结构系数为
\[p'_{\alpha \beta} = \sum_{\gamma \delta} D_{\alpha \gamma} D_{ \beta \delta } p_{\gamma \delta}＝ DpD^\top.
\]
