李群笔记
我看了J.P.Elliot1958年关于SU(3)解释壳模型计算中转动谱的一篇著名文章，我想搞明白SU(3)以及相应的群表示指标，所以在看Greiner的《量子力学：对称性》中《SU(3)群》这一章。看了一部分以后觉得有些地方很迷惑，就翻别的书，找了A.Zee的《Group theory in a nutshell for physicists》，看了1.3节《Rotations and the Notation of Lie Algebras》，立即明白了几个疑点，记录如下。
Lie的观察：转动可以由一系列完全相同的无穷小转动构成。
这个性质与群元的指数形式\(U(a) = e^{-i \sum_\mu a_\mu L_\mu}\)是直接相关的。
因为有了上面Lie的观察，才能从单位元的邻域内，推导出指数形式。
看Greiner的书，会觉得他假定了所有李群都可以用这种指数形式表达。但是Zee提醒了，并不是这样，Cartan给出了反例：SL(2,R)——把生成元\(L_\mu\)放进指数，并不能得到所有群元。
李代数、生成元、Casmir算符
取无穷小转动\(R=I+A\)，\(R'=I+B\)，\(R,R'\)是否对易，决定了\(RR'R^{-1}\)是否等于\(R'\)。
\(R\)的逆元是\(R^{-1} = I-A\)（因为\(A\)是无穷小算符）。
\(RR'R^{-1} \approx I + B + AB - BA = R' + [A,B]\)。
可以定义一个线性无关的无穷小算符集合，即生成元。搞清楚生成元之间的对易关系，就搞清楚了这个李群的“乘法结构”。生成元之间的对易关系就是李代数。换言之，对于李群，我们只研究单位元附近的群元，也就是研究李代数，就可以了解这个李群。
分析可以得到\([L_i, L_j] = iC_{ijk}L_k\)，\(C_{ijk} = - C_{jik}\)。
例如，通过对SO(4)李代数的讨论，A.Zee展示了，在单位元附近，SO(4)同构于SO(2)\(\otimes\)SO(2)，这叫做局域同构。他说后面会解释，SO(4)不是完全同构于SO(2)\(\otimes\)SO(2)。
Casmir算符：与所有生成元对易的算符
相互对易的生成元的最大个数是Casmir算符的个数。
指数形式
因为Lie的观察，\(N\)趋于无穷时，李群群元\(e^{\sum_\mu i a_\mu L_\mu / N}\)自乘\(N\)次，会得到
\((e^{\sum_\mu i a_\mu L_\mu / N})^N = ( 1+ \sum_\mu i a_\mu L_\mu / N )^N = e^{\sum_\mu i a_\mu L_\mu}\)。
似乎SO(3), SU(3) 等等很多物理常用的群都可以写成这个指数形式。
\(U(n)\)群
若把群元写成\(U = e^{iH}\)，则\(U\)幺正\(\Leftrightarrow H\)厄米。厄米的矩阵一共有\(n^2\)个自由度，所以\(U(n)\)群一共有\(n^2\)个自有参数，相应地有\(n^2\)个生成元。
\(SU(n)\)群
若限定\(detU = 1\)，则得到SU(n)群。\(U(n)\)群元相当于\(e^{i\alpha/n}E\)乘上一个\(SU(n)\)群的群元，\(e^{i\alpha} = Tr(U)\)，所以我猜\(U(n) = U(1)\otimes SU(n)\)。
\(SU(2)\)的生成元是泡利算符。
\(SU(3)\)生成元
\(\lambda_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)，\(\lambda_2 =
\begin{bmatrix}
0 & -i & 0 \\
i & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)，\(\lambda_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)，\(\lambda_4 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)，
\(\lambda_5 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i \\
0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0
\end{bmatrix}\)，\(\lambda_6 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}\)，\(\lambda_7 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i \\
0 & i & 0
\end{bmatrix}\)，\(\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix}\)，
这些生成元的对易关系为\([\lambda_i, \lambda_j]=2if_{ijk}\lambda_k\)，\(f_{ijk}\)是完全反对称的，它的值为：
\(f_{123} = 1, f_{147} = f_{516} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = f_{637} = \frac{1}{2}, f_{458} = f_{678} = \sqrt{3}/2\)，其他未列出的都是0.
反对易关系为\(\{ \lambda_i, \lambda_j \} = \frac{4}{3} \delta_{ij}E + 2d_{ijk} \lambda_k\), \(d_{ijk}\)是完全对称的。
\(f_{ijk}, d_{ijk}\)还有些很对称的等式，在Greiner的书上。我证了一遍，懒得抄在这里了。
若定义\(F_i = \frac{1}{2}\lambda_i\)，则有\([F_i, F_j]=if_{ijk}\lambda_k\)。
Casmir算符：\(C_1 = \sum_i F^2_i, C_2 = \sum_{ijn}d_{ijn} F_i F_j F_n\)。
\(SU(3)\)的子代数
所有生成元线性组合构成的线性空间中，如果存在一个子空间，子空间内的元素之间对易关系闭合，则称作是子代数。
三个\(SU(2)\)子代数
显然，\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)的关系就和三个Pauli矩阵一样，所以有\(SU(2)\)子代数。
类似地，\(\lambda_4, \lambda_5, \frac{1}{2}(\lambda_3 + \sqrt{3}\lambda_8)\)也构成行列指标(1,3)上的三个Pauli矩阵，所以也有\(SU(2)\)子代数。
\(\lambda_6, \lambda_7, \frac{1}{2}( -\lambda_3 + \sqrt{3}\lambda_8)\)也构成\(SU(2)\)子代数。
方便标记的量子数
定义\(T_\pm = F_1 \pm iF_2, V_\pm = F_4 \pm iF_5, U_\pm = F_6 \pm i F_7\)，即上面3个子代数的阶梯算符。可以证明，\([T_3, T_\pm] = \pm T_\pm, [ T_3, V_\pm ] = \pm \frac{1}{2} V_\pm, [ T_3, U_\pm ] = \mp \frac{1}{2} U_\pm\)。
这说明，这些阶梯算符都是\(T_3\)的l阶梯算符，将\(T_3\)的量子数升降\(\pm \frac{1}{2}, \pm 1\)。
\(T_3\)只设计生成元矩阵对角元的一种情况，在迹0的约束下，还可以找一个算符\(Y = \frac{1}{\sqrt{3}} \lambda_8\)。
可以证明，\([Y, T_\pm] = 0, [ Y, U_\pm ] = \pm U_\pm, [Y, V_\pm] = \pm V_\pm\).
所以，这些阶梯算符也都是\(Y\)的阶梯算符。\(T_3\)的相关\(SU(2)\)代数与\(Y\)完全无关。
取\(T_3, Y\)这两个量子数，在\((T_3,Y)\)二维平面上画出格点，每个点代表一个\((T_3, Y)\)值。
为了比例好看点，我们将\(Y\)轴乘了一个因子\(scaling = \sqrt{3}/2\)。
这六个阶梯算符有以下性质：
- 上图中相邻的(夹角为60度)的阶梯算符的对易子都是0.
- 上图中夹角为120度的阶梯算符的对易子都正比于它们之间的阶梯算符。
\([T_+, U_+] = V_+\),
\([V_+, T_-] = - U_+\),
\([U_+, V_-] = T_-\),
\([T_-, U_-] = -V_-\),
\([V_-, T_+] = U_-\),
\([U_-, V_+] = -T_-\)，很对称很漂亮，连负号都是隔一个出现一次。
寻找多重态
- 从上面的子代数可以看出来，原则上，两个量子数也可以不选\((T_3, Y)\)，可以用\(U_3, V_3\)中的一个，然后另外构造一个类似\(Y\)的量子数。所以多重态的图形应该是旋转120度不变的。
- 应该是关于\(T_3, U_3, V_3\)轴对称的。
所以多重态的图是一个六边形，三条边一样长（\(p+1\)个点），另外三条边一样长（\(q+1\)个点），分别相间。 - 选一个\(T_3\)最大的点，确定最外层各边边长以后，可以证明，最外壳上每个点只对应1个量子态，即不可能用这些阶梯算符构造出另一个\((T_3,Y)\)的不同的态。
- 根据Greiner的书，越往内层，内层壳上的点的重数越大，直到遇到三角形，点的重数就不再增加。
- 根据这套逻辑，\(p-q = 3k+1\)时，可以推出\(D(p,q)\)的维数是\(d = \frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2)\)。
