[CINTA] 具体数论与代数阅读笔记——第一章 整数和二进制（含加、乘、除）

前言

这本书说自己是计算机专业数学入门之入门,成为读者攻读其他经典著作的垫脚石，但个人以为足矣替换掉本校内不知所云的、抽象的、让学生考完后马上全忘的那些课程。本书的 GitHub 仓库在这里。

该笔记并非单纯的整理归纳，而是记录陆爻齐在书中找到的对自己很有感触的部分。

闲话少说，下面是笔记正文。

第一章 整数与二进制

1.1 二进制

基本性质

首先，有两条基本的性质

1. 偶数二进制最末尾的比特是 0;奇数二进制最末尾的比特是 1；
2. 在一个二进制数末尾增加一个 0 等同于在十进制中对这个数乘 2。
   反过来说,对一个十进制数进行乘 2 操作等同于对其二进制表达左移一个比特。

显然，比如 2 的二进制表示为 0010，3 为 0011， 4即 2*2 为0100。

思考

随后提出思考：请问,你认为对一个十进制数进行除 2 等于对其二进制表达右移一个比特吗?

陆爻齐的回答是：是的，对 3，出 2 得 1.5，0011 右移一个比特得 0001.1，正好为 1.5。对 2， 除 2 得 1，0010 右移一个比特得 0001，正好为1。

性质

接着在基于“考虑任意自然数 n,所谓 2 的 n 次方 (2^n) 只是不断对 1 乘 n 次 2”给出了两条性质
3、给定任意自然数 n, 十进制数 2^n 的二进制数表达就是在 1 后加 n 个 0；
4、给定任意自然数 n, 十进制数 2^n − 1 的二进制数表达就是 n 个 1；

结合一点例子就能认同，4 是 2 的 2 次方，即 1 后加 2 个 0，即 0100。1 是 2 的 0 次方，为 1 后加 0 个 0，即 0001。4 减 1 得 3，0011，就是 2 的 1 次方和 0 次方相加所得， 0011 = 0010 + 0001；2^2 - 1 = 2^1 + 2^0。

思考

接下来是作者给的思考，请将以上计算过程的结论归纳成一个定理,并证明。你可以使用任何的证明方法。
请问,以上“硬”算的方法能否推广为一种证明方法?

陆爻齐认为，可以归纳为，对任意自然数 n+1（n>=0)，有\(2^{(n+1)} = \sum_0^n 2^n\)

位置计数法

如此，便引入了位置计数法，即对任意整数 b，有 \(b=\sum_{i=0}^{n-1}b_i2^i\)，其中\(b_i\in\{0,1\}\)

显然，取 10，即 1010，可以视为 \(1010 = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0\)，换句话 10 = 18 + 04 + 12 + 01。

加法与乘法

加法

加法，大家都能想到 a+b，但要是不准用 + 呢？

于是有下面这个加法的算法，C++ 实现如下

// 输入：两个整数a和b的和
// 输出：a与b的和
int add (int a, int b) {
    // cout << a << " " << b << endl;
    if (b == 0) return a;
    return add(a^b, (a&b)<<1);
}

作者想表达计算机的本质是bit的异或、与及移位操作。

思考

这里又是思考：要理解这个加法算法只需要地正确回答出以下三个问题:

1. a ∧ b 得到的是什么?
2. (b&a) << 1 得到的是什么?
3. 该算法为什么会终止?

陆爻齐的回答是，

1. a ^ b 得到的是 a 和 b 相加后，移位之后且还没计算进位的部分。异或操作是 10 和 01 得 1，11 或 00 得 0，1 与 0 相加，那位不用进位，留 1；而 0 + 0 或 1 + 1，则会在原地留 0，这正好符合异或操作的结果。
2. (b&a) << 1 得到进位的部分，a&b 的与操作就可以得到 1 + 1 的位，<< 1 是移位操作，根据上文，二进制乘 2，靠后面加个 0， 故向左移一位。
3. 算法之所以会终止，是因为从右向左，每次执行完进位操作一定能保证该位以右不会有可进位的位，如设第 1 位要进位，那么进位后第一位就确认为 1 或 0，但进位后可能导致下一位需要进位，若此时第二位要进位，那么就处理进位并确认第二位为 1 或 0，以此类推，处理至尽。因处理的数字是有限位数字，故算法一定能终止。

乘法

作者介绍了一种朴素乘法，即 a*b 的本质，是 b 个 a 相加。下面作者以此为例，从正确性、效率、优化三个角度分析该算法。

显然，这种不断加的乘法时间复杂度为O（n）。

然后是重点，递归版的“简单乘法”，C++ 实现如下。

int multiply(int a, int b) {
    // cout << a << " " << b << endl;

    if (b == 0) return 0;

    if (is_even(b)) {
        return 2 * multiply(a, b >> 1);
    }
    else {
        return 2 * multiply(a, b >> 1) + a;
    }
}

其实这个程序可以这么理解，返 0 不用说，如果 b 是偶数，比如 0b100 是 8，a 随便取个数，比如 3，即 0b11，用 100 * 11 相当于 2 * （10 * 11），也等于 2 * （ 2 * （ 1 * 11）），最后省个 1，也就加个 a，综上。

换个复杂点的例子，让 b 为 1010，那就可以看为 (12^4 + 02^3 + 12^2 + 02^1) * 3 。

同时作者还补充，在附录 A 有更高效的乘法实现。

除法

定理

首先得有个除法定理，对任意给定的整数 a 和 b,其中 b > 0,存在唯一的整数对 q(商)和 r(余数)，使得 a = qb + r 且 0 ≤ r < b。

然后，介绍了下良序原则和单射、满射、一一映射等概念，不过感觉在下面没啥用。

然后是除法的实现，朴素除法与朴素乘法类似，是不断减去除数，至被除数比除数小时，相减次数为“商”，剩下的被除数为“余数”。

简单除法

而简单除法的 C++ 实现如下

std::pair<int, int> m_divide(int a, int b) {
    // cout << a << " " << b << endl;

    if (a == 0) {
        return pair<int, int>(0, 0);
    }

    std::pair<int, int> result = m_divide(a >> 1, b);

    result.first <<= 1; result.second <<= 1;

    if (a & 1) {
        result.second += 1;
    }

    if (result.second >= b) {
        result.first += 1;
        result.second -= b;
    }

    return result;
}

某种程度就是那个简单除法的逆运算捏，但我觉得我也不是那么明白，只能感受到，这是在不断对背除数除二，然后从左至右确认“商”，最后消除还不明白如何产生的误差来确认“余数”。

第一章 习题

嘛，又不是正式上课，就选两道做做罢

1 判断奇偶的函数，c语言实现

判断奇数
int func (int a) { if (a & 1) return True; return False; }
判断偶数
int func (int a) { if (a & 1) return False; return True; }

思想是，奇数的二进制表示中，最右位总为 1，只要 & 上 1，就只会保留最右位，1 则奇数，0 则偶数。

2 判断 v 是否为 2 的某次方

两个思路

1. 若 v 为 2 的某次方，必表现为 100……0 的形式，那么用 while 循环从右至左判断，是否只有最后（最左）为 1 则是；
2. 若 v 为 2 的某次方，必在减 1 后，为 111……11 的形式，那么用相同位数的 111……11 与之异或，若最后得 0，则是；

小结

CINTA 第一章下来，我想我还是更优先看看 CSAPP 或许更好些，不过其中部分内容真是有意思，从二进制的角度看待加、乘、除，别有一番风味。另外也庆幸不是学校的专业课，不然又是一门备考时令人头疼的科目力