random graph（CS224W）

random graph：连接到任意一个节点的边的数目服从possion distribution(the ordinary random graph has a Poisson distribution of vertex degrees）
实际中的很多网络，类似与社交网络的节点度数都不符合泊松过程，实际的网络关系图当中，因为是有向的也不符合random graph的上述定义。所以一般会把random graph泛化成非泊松分布，有向以及二分图等。

https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0007235.pdf
Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications

RANDOM GRAPHS WITH ARBITRARYDEGREE DISTRIBUTIONS

\(G_0(x)\)为概率图的生成函数：这里构建N个结点的random graph，N趋于无穷大。（这个是通用方程，\(p_k\)代表任意结点degree为k的概率，\(p_k\)可以服从泊松概率分布，论文中第一个示例即是。）

当随机选择一条边，游走到一个结点，这个结点的degree为k的概率分布应该为\(kp_k\)的比例值
(解释：任意一个节点degree为k的概率分布为\(p_k\),进入改节点的边数为k，所以从任意一条边出发达到任意的一个degree为k的结点的概率值应该和\(kp_k\)成比例，由于需要满足当x->1时，生成函数的值为1，所以需要对结点的概率分布进行归一化。因此结点的概率分布为比例关系）。
最终论文中归一化公式为\(\frac{\sum_0^\infty xp_kx^k}{\sum_0^\infty xp_k}=x\frac{G_0^{'}(x)}{G_0(1)}\), 即为随机选择一条边到达另外一个结点的生成函数。
任意选择一个结点作为开端，然后随机走到其最相近的k近邻，走到的这个结点的分布为\(\frac{G_0^{'}(x)}{G_0(1)}\)（论文中解释说为了可以到达任意边，所以去掉上面归一化公式当中的x，？？？）
从example分析中，\(p_k\)取泊松分布时，不论随机选择一个结点，还是从一条边到达一个结点，概率分布都是一样的
average component size
average shortest path

DIRECTED GRAPHS

有向图当中没有component的概念，在有向图当中，分为in-component和out-component