Dynamic Time Warping 动态时间规整算法
Dynamic Time Warping（DTW）是一种衡量两个时间序列之间的相似度的方法，主要应用在语音识别领域来识别两段语音是否表示同一个单词。
1. DTW方法原理
在时间序列中，需要比较相似性的两段时间序列的长度可能并不相等，在语音识别领域表现为不同人的语速不同。而且同一个单词内的不同音素的发音速度也不同，比如有的人会把“A”这个音拖得很长，或者把“i”发的很短。另外，不同时间序列可能仅仅存在时间轴上的位移，亦即在还原位移的情况下，两个时间序列是一致的。在这些复杂情况下，使用传统的欧几里得距离无法有效地求的两个时间序列之间的距离（或者相似性）。
DTW通过把时间序列进行延伸和缩短，来计算两个时间序列性之间的相似性：
如上图所示，上下两条实线代表两个时间序列，时间序列之间的虚线代表两个时间序列之间的相似的点。DTW使用所有这些相似点之间的距离的和，称之为归整路径距离(Warp Path Distance)来衡量两个时间序列之间的相似性。
2. DTW计算方法：
令要计算相似度的两个时间序列为X和Y，长度分别为|X|和|Y|。
归整路径(Warp Path)
归整路径的形式为W=w1,w2,...,wK，其中Max(|X|,|Y|)<=K<=|X|+|Y|。
wk的形式为(i,j)，其中i表示的是X中的i坐标，j表示的是Y中的j坐标。
归整路径W必须从w1=(1,1)开始，到wK=(|X|,|Y|)结尾，以保证X和Y中的每个坐标都在W中出现。
另外，W中w(i,j)的i和j必须是单调增加的，以保证图1中的虚线不会相交，所谓单调增加是指：
最后要得到的归整路径是距离最短的一个归整路径：
最后求得的归整路径距离为D(|X|,|Y|)，使用动态规划来进行求解：
上图为代价矩阵(Cost Matrix) D，D(i,j)表示长度为i和j的两个时间序列之间的归整路径距离。
3. DTW实现：
matlab代码：
function dist = dtw(t,r) n = size(t,1); m = size(r,1); % 帧匹配距离矩阵 d = zeros(n,m); for i = 1:n for j = 1:m d(i,j) = sum((t(i,:)-r(j,:)).^2); end end % 累积距离矩阵 D = ones(n,m) * realmax; D(1,1) = d(1,1); % 动态规划 for i = 2:n for j = 1:m D1 = D(i-1,j); if j>1 D2 = D(i-1,j-1); else D2 = realmax; end if j>2 D3 = D(i-1,j-2); else D3 = realmax; end D(i,j) = d(i,j) + min([D1,D2,D3]); end end dist = D(n,m);
C++实现：
dtwrecoge.h
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/***dtwrecoge.h*********************************************************************/ #ifndef dtwrecoge_h #define dtwrecoge_h #include<stdio.h> #include<math.h> #define DTWMAXNUM 2000 #define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define MIN(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) #define ABS(a) ((a)>0?(a):(-(a))) #define DTWVERYBIG 100000000.0 /*****************************************************************************/ /* DTWDistance，求两个数组之间的匹配距离 /* A,B分别为第一第二个数组，I，J为其数组长度，r为匹配窗口的大小 /* r的大小一般取为数组长度的1/10到1/30 /* 返回两个数组之间的匹配距离,如果返回－1.0，表明数组长度太大了 /*****************************************************************************/ double DTWDistanceFun(double *A,int I,double *B,int J,int r); /*****************************************************************************/ /* DTWTemplate，进行建立模板的工作 /* 其中A为已经建立好的模板，我们在以后加入训练样本的时候， /* 以已建立好的模板作为第一个参数，I为模板的长度，在这个模板中不再改变 /* B为新加入的训练样本，J为B的长度，turn为训练的次数，在第一次 /* 用两个数组建立模板时，r为1，这是出于权值的考虑 /* temp保存匹配最新训练后的模板，建议temp[DTWMAXNUM]，函数返回最新训练后模板的长度 /* 如果函数返回-1，表明训练样本之间距离过大，需要重新选择训练样本， /* tt为样本之间距离的阈值，自行定义 /*****************************************************************************/ int DTWTemplate(double *A,int I,double *B,int J,double *temp,int turn,double tt,double *rltdistance); #endif
dtwrecoge.cpp
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/*dtwrecoge.cpp**************************************************************/ #include "dtwrecoge.h" double distance[DTWMAXNUM][DTWMAXNUM]; /*保存距离*/ double dtwpath[DTWMAXNUM][DTWMAXNUM]; /*保存路径*/ /*****************************************************************************/ /* DTWDistance，求两个数组之间的匹配距离 /* A,B分别为第一第二个数组，I，J为其数组长度，r为匹配窗口的大小 /* r的大小一般取为数组长度的1/10到1/30 /* 返回两个数组之间的匹配距离,如果返回－1.0，表明数组长度太大了 /*****************************************************************************/ double DTWDistanceFun(double *A,int I,double *B,int J,int r) { int i,j; double dist; int istart,imax; int r2=r+ABS(I-J);/*匹配距离*/ double g1,g2,g3; int pathsig=1;/*路径的标志*/ /*检查参数的有效性*/ if(I>DTWMAXNUM||J>DTWMAXNUM){ //printf("Too big number\n"); return -1.0; } /*进行一些必要的初始化*/ for(i=0;i<I;i++){ for(j=0;j<J;j++){ dtwpath[i][j]=0; distance[i][j]=DTWVERYBIG; } } /*动态规划求最小距离*/ /*这里我采用的路径是 ------- . | . | . | . | */ distance[0][0]=(double)2*ABS(A[0]-B[0]); for(i=1;i<=r2;i++){ distance[i][0]=distance[i-1][0]+ABS(A[i]-B[0]); } for(j=1;j<=r2;j++){ distance[0][j]=distance[0][j-1]+ABS(A[0]-B[j]); } for(j=1;j<J;j++){ istart=j-r2; if(j<=r2) istart=1; imax=j+r2; if(imax>=I) imax=I-1; for(i=istart;i<=imax;i++){ g1=distance[i-1][j]+ABS(A[i]-B[j]); g2=distance[i-1][j-1]+2*ABS(A[i]-B[j]); g3=distance[i][j-1]+ABS(A[i]-B[j]); g2=MIN(g1,g2); g3=MIN(g2,g3); distance[i][j]=g3; } } dist=distance[I-1][J-1]/((double)(I+J)); return dist; }/*end DTWDistance*/ /*****************************************************************************/ /* DTWTemplate，进行建立模板的工作 /* 其中A为已经建立好的模板，我们在以后加入训练样本的时候， /* 以已建立好的模板作为第一个参数，I为模板的长度，在这个模板中不再改变 /* B为新加入的训练样本，J为B的长度，turn为训练的次数，在第一次 /* 用两个数组建立模板时，r为1，这是出于权值的考虑 /* temp保存匹配最新训练后的模板，建议temp[DTWMAXNUM]，函数返回最新训练后模板的长度 /* 如果函数返回-1，表明训练样本之间距离过大，需要重新选择训练样本， /* tt为样本之间距离的阀值，自行定义 /* rltdistance保存距离，第一次两个数组建立模板时可以随意赋予一个值， /* 后面用前一次返回的值赋予该参数 /*****************************************************************************/ int DTWTemplate(double *A,int I,double *B,int J,double *temp,int turn,double tt,double *rltdistance) { double dist; int i,j; int pathsig=1; dist=DTWDistanceFun(A,I,B,J,(int)(I/30)); if(dist>tt){ printf("\nSample doesn't match!\n"); return -1; } if(turn==1) *rltdistance=dist; else{ *rltdistance=((*rltdistance)*(turn-1)+dist)/turn; } /*寻找路径,这里我采用了逆向搜索法*/ i=I-1; j=J-1; while(j>=1||i>=1){ double m; if(i>0&&j>0){ m=MIN(MIN(distance[i-1][j],distance[i-1][j-1]),distance[i][j-1]); if(m==distance[i-1][j]){ dtwpath[i-1][j]=pathsig; i--; } else if(m==distance[i-1][j-1]){ dtwpath[i-1][j-1]=pathsig; i--; j--; } else{ dtwpath[i][j-1]=pathsig; j--; } } else if(i==0){ dtwpath[0][j-1]=pathsig; j--; } else{/*j==0*/ dtwpath[i-1][0]=pathsig; i--; } } dtwpath[0][0]=pathsig; dtwpath[I-1][J-1]=pathsig; /*建立模板*/ for(i=0;i<I;i++){ double ftemp=0.0; int ntemp=0; for(j=0;j<J;j++){ if(dtwpath[i][j]==pathsig){ ftemp+=B[j]; ntemp++; } } ftemp/=((double)ntemp); temp[i]=(A[i]*turn+ftemp)/((double)(turn+1));/*注意这里的权值*/ } return I;/*返回模板的长度*/ }//end DTWTemplate
C++代码下载：DTW算法.rar
