递归笔试题

1、一个楼梯有20级，每次走1级或是2级，从底走到顶一共有多少中走法？
算法：
    设 n 是阶数，f(n) 是上 n 阶的不同走法数，则第一步可以走一阶或者是两阶，
    那么这三种情况下剩余的阶数分别为 n-1、n-2，
    所以 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

//递归解法
int solution1(int n)
{
    if(n == 0 || n == 1) return 1;
    else return solution1(n-1) + solution1(n-2);
}

//非递归解法
int f[100];
int solution2(int n)
{
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    for(int i=2; i<=n; ++i)
      f[i] = f[i-1] + f[i-2];
    return f[n];
}

2、质因数分解：得到num的所有质因数

void prime_number(int num, int n)
{
    if(num > n)
    {
        while(num % n)  n++; //找到一个质因数
        num /= n; //除以这个质因数
        cout<<n<<endl; //打印这个质因数
        prime_number(num,n);
    }
}
int main()
{
    int n = 1001;
    prime_number(n,2);
    return 0;
}

3、不用任何中间变量，如何获取字符串的长度

int my_strlen(const char* str)
{
    if(*str == '\0') return 0;
    else return my_strlen(str+1)+1;
}

不用任何中间变量，以递归反序输出一个字符串:

void reverse(const char *p)
{
    if(*p == '\0') return;
    reverse(p+1);
    printf("%c",*p);
}

4、全排列和全组合

#include <iostream>
using namespace std;

template <class Type>
void permute(Type a[], int start, int end)
{
    if(start == end)
    {
        for(int i = 0; i <= end; ++i)
        {
            cout<<a[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    else
    {
        for(int i = start; i <= end; ++i)
        {
            swap(a[i],a[start]);
            permute(a,start+1,end);
            swap(a[i],a[start]);
        }
    }
}

template <class Type>
void combine(Type a[], bool b[], int start, int end)
{
    if(start > end)
    {
        for(int i = 0; i <= end; ++i)
        {
            if(b[i])
                cout<<a[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    else
    {
        b[start] = true;
        combine(a,b,start+1,end);
        b[start] = false;
        combine(a,b,start+1,end);
    }
}

int main()
{
    int p[3]={1,2,3};
    int N = 3;
    cout<<"permute:"<<endl;
    permute(p,0,N-1);
    cout<<"combine:"<<endl;
    bool b[3];
    combine(p,b,0,N-1);

    return 0;
}

全组合还有一个有趣的解法：可以构照一个长度为n（字符串的长度）的01字符串（或二进制数）表示输出结果中最否包含某个字符，比如：对于字符串“abc”，"001"表示输出结果中不含字符a、b，只含c，即输出结果为c，而"101"，表示输出结果为ac。原题就是要求输出"001"到"111"这2^n–1个组合对应的字符串。
参考：http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/archive/2012/08/08/2628153.html

5、给出一个集合，如{1, 2, 3, 4}，打印出该集合的所有子集 分析一下问题，子集是指取原集合中的任意多个元素，转化一下问题，就是对于原集合中的任何一个元素，都有两个选择，包含或者不包含，所以对于n个元素的集合，其子集数为：2*2*2... = 2^n，去掉空集就是2^n-1个。那么可以得出其递归算法，本题实质上和打印字符串的所有组合是一样的。

void Recursive_Subsets(int* a, bool* b, int start, int end) 
{ 
    if(start <= end) 
    {
        b[start] = true; // pick the a[start]
        Recursive_Subsets(a, b, start+1, end); 

        b[start] = false; // not pick the a[start] 
        Recursive_Subsets(a, b, start+1, end); 
    } 
    else
    { 
        for(int i = 0; i <= end; i++) 
        { 
            if (b[i]) cout << a[i]; 
        } 
        cout << endl; 
    }
} 

void PrintAllSubsets(int* a, int n) 
{ 
    bool* b = new bool[n]; 
    Recursive_Subsets(a, b, 0, n-1); 
    delete b; 
}

6、电话号码对应的字符组合

题目：在电话或者手机上，一个数字如2对应着字母ABC，7对应着PQRS。那么数字串27所对应的字符的可能组合就有3*4=12种（如AP，BR等）。现在输入一个3到11位长的电话号码，请打印出这个电话号码所对应的字符的所有可能组合和组合数。

#include<iostream>
using namespace std;

const char* letter[10]={"","","ABC","DEF","GHI","JKL","MNO","PQRS","TUV","WXYZ"};
const int num[10]={0,0,3,3,3,3,3,4,3,4};
char input[20];
char output[20];

void solve(int p，int len)
{
    if(p == len)
    {
        output[len] = '\0';
        cout<<output<<endl;
        return;
    }
    int i;
    for(i=0; i<num[input[p]]; i++)
    {
        output[p] = letter[input[p]][i];
        solve(p+1,len);
    }
}

int main()
{
    scanf("%s",input);
    len = strlen(input);
    
    int total = 1;
    for(int i=0; i<len; i++) 
    {
        input[i] -= '0';
        total *= num[input[i]];
    }
    solve(0,len);

    cout<<"The total num of combination is "<<total<<endl;
    return 0;
}

7、Coin Chagne：硬币找零问题

硬币找零问题：给定一个正整数N，和一个正整数集合S，集合中的每个元素都有无限个，如何选定集合中的元素组合使其和为N For example, for N = 4, S = {1,2,3}, there are four solutions: {1,1,1,1},{1,1,2},{2,2},{1,3}.

递归解法：假设集合S中的元素的顺序是递增的，则： C(N,M)，表示从M个元素选中若干个满足和为N的解法个数，则C(N,M)=C(N,M-1)+C(N-S[M-1],M-1)
C(N,M)=1, N=0
C(N,M)=0, N<0
C(N,M)=0, N>=1,M<=0

int Count(int N, int *s, int M)
{
    if(N == 0) return 1;
    if(N < 0) return 0;
    if(N >= 1 && M <= 0) return 0;
    return Count(N,s,M-1)+Count(N-s[M-1],s,M-1);
}

最少硬币找零问题：给定一个正整数N，和一个正整数集合S，集合中的每个元素都有无限个，如何选定最少的集合中元素，使其和为N For example, for N = 4, S = {1,2,3}, there are two solutions: {2,2},{1,3}.

递归解法：假设集合S中的元素的顺序是递增的，C(N,M)，表示从M个元素选中若干个满足和为N的解法个数，则： C(N,M)=min(C(N,M-1),C(N-S[M-1],M-1))+1

int minCount(int N, int *s, int M)
{
    if(N == 0) return 1;
    if(N < 0) return 0;
    if(N >= 1 && M <= 0) return 0;
    return min(Count(N,s,M-1),Count(N-s[M-1],s,M-1))+1;
}

8、输入两个整数 n 和 m，从数列1，2，3...n 中随意取几个数，使其和等于m ,要求将其中所有的可能组合列出来。

解为：此题等同于整数分解问题，将m分解成n以内的解为：f(n,m)，分解成两个子问题：f(n-1,m-n)和f(n-1,m)

vector<int> vec;
void find_factor(int sum, int n)
{
    if(n <= 0 || sum <= 0)
        return;
    if(sum == n)
    {
        for(vector<int>::iterator iter = vec.begin(); iter != vec.end(); iter++)
            cout << *iter << " + ";
        cout << n << endl;
    }
    vec.push_back(n);
    find_factor(sum-n, n-1);   //放n，n-1个数填满sum-n
    vec.pop_back();
    find_factor(sum, n-1);     //不放n，n-1个数填满sum
}