最大子序列和问题

问题： 
给定一整数序列A1， A2，... An （可能有负数），求A1~An的一个子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大。 
例如：整数序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和为19。对于这个问题，最简单也是最容易想到的那就是穷举所有子序列的方法。利用三重循环，依次求出所有子序列的和然后取最大的那个。当然算法复杂度会达到O(n^3)。

int max_sub_sum1(int a[],int size)
{
    int maxSum = 0;
    for(int i = 0; i < size; i++ )
        for(int j = 1; j < size; j++ )
        {
             int thisSum = 0;
             for(int k = i; k <= j; k++ )
                 thisSum += a[k];
             if(thisSum > maxSum )
                maxSum = thisSum;
        }
    return maxSum;
}

这个算法很简单，i表示子序列起始下标，j表示子序列结束下标，遍历子序列的开头和结束下标，计算子序列的和，然后判断最大子序列。很明显的看出算法复杂度是O(n^3)。

显然这种方法不是最优的，下面给出一个算法复杂度为O(n)的线性算法实现，算法的来源于Programming Pearls一书。在给出线性算法之前，先来看一个对穷举算法进行优化的算法，它的算法复杂度为O(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改：其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ... A[j]的和，那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推，我们就可以得到下面这个算法：

int max_sub_sum2(int a[],int size)
{
    int max = a[0];
    for(int i = 0; i < size; i++)
    {
        int v = 0;
        for(int j = i; j < size; j++)
        {
            v = v + a[j];   //Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
            if(v > max)  max = v;
        }
    }
    return max;
}

那怎样才能达到线性复杂度呢？这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现：

int max_sub_sum3(int a[], int size)
{
    int max = 0,temp_sum = 0;
    for(int i = 0; i < size; i++)
    {
        temp_sum += a[i];
        if(temp_sum > max)
            max = temp_sum;
        else if(temp_sum < 0)
            temp_sum = 0;
    }
    return max;
}

在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后，temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。 

分治法：

最大子序列和可能出现在三个地方：整个出现在输入数据的左半部分，整个出现在输入数据的右半部分，或者跨越输入数据的中部从而占据左右两个半部分。

/** 
 * Recursive maximum contiguous subsequence sum algorithm. 
 * Finds maximum sum in subarray spanning a[left..right]. 
 * Does not attempt to maintain actual best sequence. 
 */  
int maxSumRec( const vector<int> & a, int left, int right )  
{  
    if( left == right )  // Base case   
        if( a[ left ] > 0 )  
            return a[ left ];  
        else  
            return 0;  
    int center = ( left + right ) / 2;  
    int maxLeftSum  = maxSumRec( a, left, center );  
    int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );  
    int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;  
    for( int i = center; i >= left; i-- )  
    {  
        leftBorderSum += a[ i ];  
        if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum )  
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;  
    }  
    int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;  
    for( int j = center + 1; j <= right; j++ )  
    {  
        rightBorderSum += a[ j ];  
        if( rightBorderSum > maxRightBorderSum )  
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;  
    }  
    return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );  
}  
  
/** 
 * Driver for divide-and-conquer maximum contiguous 
 * subsequence sum algorithm. 
 */  
int maxSubSum3( const vector<int> & a )  
{  
    return maxSumRec( a, 0, a.size( ) - 1 );  
}