词典(一) 跳转表(Skip table)
词典，顾名思义，就是通过关键码来查询的结构。二叉搜索树也可以作为词典，不过各种BST，如AVL树、B-树、红黑树、伸展树，结构和操作比较复杂，而且理论上插入和删除都需要O(logn)的复杂度。
在词典中，key和value的地位相同，支持新的循值访问(call by value)的方式。因为词典的访问不再强调关键码的大小次序，因此不属于CBA式算法的范畴，因而算法的复杂度可以突破CBA算法的界限。循值访问要求在词典的内部，数据对象的数值和物理地址建立某种关联。当然，算法时间复杂度的降低，意味着空间复杂度的上升。介绍两种典型的词典，跳转表(skiptable)和哈希表(hashtable)，通过他们的操作复杂度，可以清晰地看到这一点。
词典
首先，根据词典需要的功能，定义一个词典模板类。词典需要支持的操作，主要是查询get(),插入put(),删除remove()。
1 template<typename K, typename V> struct Dictionary 2 { 3 virtual int size() const = 0; 4 virtual bool put(K, V) = 0; 5 virtual V* get(K k) = 0; 6 virtual bool remove(K k) = 0; 7 };
跳转表
跳转表的初衷在于，相对于二叉树更加直观简便。它是一种基于链表的结构，不同之处在于，节点需要包含上下左右四个方向的指针，查询和动态操作仅需要O(logn)的时间。跳转表的总体结构如下图所示。可以看到，需要用两个链表来构成跳转表结构，其中，每一个水平链表称为一层(level)，纵向链表的规模称为层高，从S0-Sh，元素的数量递减，最底层的S0包含有表中所有的数据项；同时，同一个数据项可能在几层都出现，沿纵向组成塔(tower)，从而也需要给每一个节点定义上下两个指针。
可以自然地想到，这种结构会浪费一定的空间，因为有许多不必要的重复词条，但这也正是跳转表结构效率的来源，空间换时间。如果每个词条都有很多重复，不仅接近于链表O(n)的效率，更是没有必要的浪费。因此约定，在Sk中出现的节点，也出现在Sk+1中的概率为1/2，也就是说，总体上，每一层节点只有它下一层节点数量的的一半。
为了满足四个方向都有指针的需求，需要对链表进行拓展，水平和竖直方向都可以定义后继和前驱的，称为四联表，下面是四联表的实现，总体与链表思路一致，不过因为跳转表的插入规则，只定义了after-above插入的方式。
1 #include"Entry.h" 2 #define QlistNodePosi(T) QuadlistNode<T>* 3 template<typename T> struct QuadlistNode 4 { 5 T entry; 6 QlistNodePosi(T) pred; QlistNodePosi(T) succ; 7 QlistNodePosi(T) above; QlistNodePosi(T) below; 8 QuadlistNode(T e = T(), QlistNodePosi(T) p = NULL, QlistNodePosi(T) s = NULL, 9 QlistNodePosi(T) a = NULL, QlistNodePosi(T) b = NULL) 10 :entry(e), pred(p), succ(s), above(a), below(b) {} 11 QlistNodePosi(T) insertAsSuccAbove(T const& e, QlistNodePosi(T) b = NULL); 12 }; 13 #include"QuadlistNode.h" 14 template<typename T> class Quadlist 15 { 16 private: 17 int _size; 18 QlistNodePosi(T) header; QlistNodePosi(T) trailer; 19 protected: 20 void init(); 21 int clear(); 22 public: 23 Quadlist() { init(); } 24 ~Quadlist() { clear(); delete header; delete trailer; } 25 int size() const { return _size; } 26 bool empty() const{ return _size <= 0; } 27 QlistNodePosi(T) first() const { return header->succ; } 28 QlistNodePosi(T) last() const { return trailer->pred; } 29 bool valid(QlistNodePosi(T) p) 30 { 31 return p && (p != header) && (p != trailer); 32 } 33 T remove(QlistNodePosi(T) p); 34 QlistNodePosi(T) insertAfterAbove(T const& e, QlistNodePosi(T) p, QlistNodePosi(T) b = NULL); 35 }; 36 template<typename T> void Quadlist<T>::init() 37 { 38 header = new QuadlistNode<T>; 39 trailer = new QuadlistNode<T>; 40 header->succ = trailer; 41 header->pred = NULL; 42 trailer->pred = header; 43 trailer->succ = NULL; 44 header->above = trailer->above = NULL; 45 header->below = trailer->below = NULL; 46 _size = 0; 47 } 48 template<typename T> T Quadlist<T>::remove(QlistNodePosi(T) p) 49 { 50 p->pred->succ = p->succ; p->succ->pred = p->pred; 51 T e = p->entry; delete p; 52 return e; 53 } 54 template<typename T> int Quadlist<T>::clear() 55 { 56 int oldsize = _size; 57 while (_size > 0) remove(header->succ); 58 return oldsize; 59 }
接下来，根据跳转表的结构，我们选取四联表作为每层的链表，所有的层数组成一个普通链表，实现跳转表的结构：
template<typename K, typename V> class Skiplist :public Dictionary<K, V>, public List<Quadlist<Entry<K, V>>*> { protected: bool skipSearch(ListNode<Quadlist<Entry<K, V>>*>* &qlist, QuadlistNode<Entry<K, V>>* &p, K& k); public: int size() const { return empty() ? 0 : last()->data->size(); } int level() { return List:; size(); } bool put(K k, V v);//插入，允许重复故必然成功 V* get(K k); bool remove(K k); };
跳转表直接继承了链表和词典的接口，从而具备两者的功能。链表的每个节点都存储一个四联表指针，即每个节点代表了跳转表中的一层。
查找
查找接口skipSearch()，接受起始层数以及起始节点。get()可以通过调用skipSearch()来获取关键码对应的值。可以自然地想到，高层的四联表中节点少，如果能查找到，可以大大减少时间。所以，查找元素的操作，从最上层开始，如果命中，直接返回；如果未找到目标关键码，返回到不大于目标的节点，并转入下层，继续向后寻找。
1 template<typename K, typename V> V* Skiplist<K,V>::get(K k) 2 { 3 if (empty()) return NULL; 4 ListNode<Quadlist<Entry<K, V>>*>* qlist = first(); 5 QuadlistNode<Entry<K, V>>* p = qlist->data->first(); 6 return skipSearch(qlist, p, k) ? &(p->entry.value) : NULL; 7 } 8 template<typename K, typename V> bool Skiplist<K, V>::skipSearch(ListNode<Quadlist<Entry<K, V>>*>* &qlist, 9 QuadlistNode<Entry<K, V>>* &p, K& k) 10 { 11 while (true) 12 { 13 while (p->succ && (p->entry.key <= k)) p = p->succ; 14 p = p->pred;//回撤一步 15 if (p->pred && (p->entry.key == k)) return true; 16 qlist = qlist->succ; 17 if (!qlist->succ) return false;//已经是链表的trailer,失败 18 p = (p->pred) ? p->below : qlist->data->first();//转到下一层(p已经是头哨兵需要转到下一层的头哨兵) 19 } 20 }
因为有前面1/2概率生长的约定，空间复杂度的期望值应当为2n，总体为O(n)。相对于链表，只是增加了一个系数，但是查找时横向和纵向的复杂度，都可以大大降低。具体证明就忽略了(其实只要简单的概率论就可以了)，可以证明，跳转表的层数期望E(h)=O(logn)，整个查找过程中横向和纵向跳转次数均为O(logn)。相对于链表，牺牲了少量的空间，换区了时间复杂度的大大提升。
插入
查找操作，首先验空，若为空插入一个新的四联表。调用skipSearch()转到适当的插入位置。因为创建新节点的过程要在最底层开始，所以要转到最底层，创建一个新的塔底。剩下的任务，就是根据1/2的概率生长，如果要继续插入，那么找到上一层中的前驱节点，把新节点作为它的水平后继、以及刚插入节点的垂直后继插入。
1 template<typename K, typename V> bool Skiplist<K, V>::put(K k, V v) 2 { 3 Entry<K, V> e = Entry<K, V>(k, v); 4 if (empty()) InsertAsFirst(new Quadlist<Entry<K, V>>);//插入首个Entry（首层） 5 ListNode<Quadlist<Entry<K, V>>*>* qlist = first(); 6 QuadlistNode<Entry<K, V>>* p = qlist->data->first(); 7 if (skipSearch(qlist, p, k)) 8 while (p->below) p = p->below; 9 qlist = last(); 10 QuadlistNode<Entry<K, V>>* b = qlist->data->insertAfterAbove(e, p);//在最底层上插入新的基座 11 while (rand() & 1) 12 { 13 while (qlist->data->valid(p) && !p->above) p = p->pred;//找到第一个比其高的前驱 14 if (!qlist->data->valid(p)) 15 { 16 if (qlist == first())//需要升层而已经是最高层时 17 InsertAsFirst(new Quadlist<Entry<K, V>>);//新加一层 18 p = qlist->pred->data->first()->pred;//转至新加层的header 19 } 20 else 21 p = p->above; 22 qlist = qlist->pred;//升层 23 b = qlist->data->insertAfterAbove(e, p, b); 24 } 25 return true; 26 }
这里一定要注意一些情况，比如初始跳转表为空、寻找上一层前驱时已经为头哨兵、需要继续向上层插入而跳转表层数不足等情况。插入操作，需要进行一次查找，以及在上层寻找前驱的操作，其他的操作均为O(1)复杂度。总体上，插入操作的时间复杂度为O(logn)。
删除
删除操作相对于插入要容易一些，同样进行一次查找，从上而下顺次删除塔即可。删除完后，自上而下检查一下本层跳转表是否为空，清除空层。需要注意的是四联表的垂直方向，因为删除总是将同一个关键码的节点删除，每次删除操作后整个塔都清空，故不必再格外清除垂直方向的指针了。
1 template<typename K, typename V> bool Skiplist<K, V>::remove(K k) 2 { 3 if (empty()) return false; 4 ListNode<Quadlist<Entry<K, V>>*>* qlist = first(); 5 QuadlistNode<Entry<K, V>>* p = qlist->data->first(); 6 if (!skipSearch(qlist, p, k)) return false; 7 do 8 { 9 QuadlistNode<Entry<K, V>>* lower = p->below; 10 qlist->data->remove(p); 11 p = lower; qlist = qlist->succ;//记录，向下深入删除 12 } while (qlist->succ); 13 while (!empty() && first()->data->empty())//如果Quadlist为空，删除 14 List::remove(first()); 15 return true; 16 }
同样，跳转表的删除操作，总体复杂度也不超过跳转表层数，即O(logn)。
