试题 算法提高 天天向上-dp

试题 算法提高 天天向上

问题描述

　　A同学的学习成绩十分不稳定，于是老师对他说：“只要你连续4天成绩有进步，那我就奖励给你一朵小红花。”可是这对于A同学太困难了。于是，老师对他放宽了要求：“只要你有4天成绩是递增的，我就奖励你一朵小红花。”即只要对于第i、j、k、l四天，满足i<j<k<l并且对于成绩wi<wj<wk<wl，那么就可以得到一朵小红花的奖励。现让你求出，A同学可以得到多少朵小红花。

输入格式

　　第一行一个整数n，表示总共有n天。第二行n个数，表示每天的成绩wi。

输出格式

　　一个数，表示总共可以得到多少朵小红花。

样例输入

6
1 3 2 3 4 5

样例输出

6

数据规模和约定

　　对于40%的数据，n<=50；
　　对于100%的数据，n<=2000，0<=wi<=10⁹。

思路：

分析:
我们将 dp[i][j] 定义为以a[i]为起点，一直到数组结束为止，所有递增序列长度为j的序列的个数。
以数组 1 3 2 3 4 5为例:
dp[3][2]表示从第二个3为起始，一直到5，递增序列长度为2的个数。容易知道，满足这样的序列有2个，34 和 35。所以dp[3][2]=2;

有了上述的定义，我们就可以得出以下递推公式

dp[i][j]= ∑dp[k][j-1] (k>i,a[k]>a[i])
现在，我们只要确定了边界条件，就可以使用动态规划来解决这个问题了。
容易知道 dp[n-1][1]是边界条件，值为1。
为了让各位读者对动态规划的过程有更形象的了解，我就以1 3 2 3 4 5 为例，列出开头的几个步骤:

初始: dp[5][1]=1,其余dp[i][j]=0;
第二步 ： dp[4][1]=1; dp[4][2]=dp[5][1]=1;
第三步： dp[3][1]=1; dp[3][2]=dp[4][1]+dp[5][1]=2; dp[3][3]=dp[4][2]=1;
第四步:dp[2][1]=1; dp[2][2]=dp[5][1]+dp[4][1]+dp[3][1]=3; dp[2][3]=dp[3][2]+dp[4][2]=3; dp[2][4]=dp[3][3]=1;
第五步: dp[1][1]=0; dp[1][2]=dp[4][1]+dp[5][1]=2 （a[k]要大于a[i]）
dp[1][3]=dp[4][2]=1;
第六步: dp[0][1]=1; dp[0][2]=dp[1][1]+dp[2][1]+dp[3][1]+dp[4][1]+dp[5][1]=5; … dp[0][4]=dp[1][3]+dp[2][3]+dp[3][3] =1+3+1=5;

dp[i][4]中保存的就是，从i开始，一直到结束，递增序列长度为4的序列的个数。
因此，只要计算所有的dp[i][4]的和即可。

注意：要long  long，否则只会通过40%的样例

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2001;
ll a[maxn],dp[maxn][5];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=2;j<=4;j++){
            dp[i][1] = 1;
            int k=i+1;
            while(k<=n){
                if(a[k]>a[i])
                    dp[i][j]+=dp[k][j-1];
                k++;
            }
        
        }
    }
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum+=dp[i][4];
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}