如何高效寻找素数

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• 埃拉托斯特尼素数筛选法

题目

• 输入n,返回[2,n)中素数的个数

暴力

• 从2开始到n,一个一个判断是不是素数，是的话就计数器加1。判断素数函数：从2开始到n,判断有没有是n的倍数，有倍数就不是素数

def countPrimes(n:int):
    count=0
    for i in range(2,n):
        if (isPrimes(i)):
            count+=1
    return count
def isPrimes(n:int):
    for i in range(2,n):
        if n%i==0:#如果这个数从2开始到自己都没有一个是倍数，则是素数
            return False
    return True
if __name__ == "__main__":
    n=int(input())
    print(countPrimes(n))

• 时间复杂度o(n^2)

优化

• 判断素数函数中for循环范围改变了，因为：比如n=12,我们只需要判断26，不需要判断62，中间是以根号n分开的，所以我们判断素数时，只需要判断[2,根号n)

import math
def countPrimes(n:int):
    count=0
    for i in range(2,n):
        if (isPrimes1(i)):
            count+=1
    return count
def isPrimes1(n:int):
    for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
        if n%i==0:#如果这个数从2开始到自己都没有一个是倍数，则是素数
            return False
    return True
if __name__ == "__main__":
    n=int(input())
    print(countPrimes(n))

• 时间复杂度o(sqrt(n))

埃拉托斯特尼素数筛选法

• 先初始化数组全为True，然后把是素数的倍数全部删去，最后统计数组中是True的个数返回

import math
def countPrimes1(n: int) -> int:
    isPrime = [True for i in range(n)]  # 初始化数组为全 True，表示所有数都是质数
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):#乘法因子的对称性
        if isPrime[i]:#是素数的情况下，把他的倍数全部删去
            for j in range(i*i, n, i):#从i*i开始，到n以i为步长，都是i的倍数，全置为False
                isPrime[j] = False
    count = 0
    for i in range(2, n):
        if isPrime[i]:#统计isPrime数组中是ture的个数
            count += 1
    return count
if __name__ == "__main__":
    n=int(input())
    print(countPrimes1(n))

• 时间复杂度o(NloglogN)