蓝桥杯2022年第十三届省赛真题-因数平方和(中)
题目
法一、暴力枚举
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一个f(n)有一个或多个约数，这一个或多个约数又是f(n)的倍数，直接统计i(从1到n)在f(1)...f(n)中出现了几次,这里可以归纳总结：每个i出现做为因子的个数是（n/i），最后全部取平方加起来则求到了题目要求的g(n),最后进行求余输出即可。
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g(n)=（n/i）* i * i,其中i从1到n
mod = 1000000007
ans = 0
n = int(input())
for i in range(1, n+1):
ans += ((n//i)*i*i) % mod #n//i表示i的个数，*了两次i表示平方，
ans %= mod#ans 可能会累加大量的数值，进行取模运算，确保ans 的值不会超过机器的整数表示范围，导致计算结果不准确或溢出。
print(ans)
- 只能过30%的案例
法二、数学公式
- 上面我们得到了：g(n)=（n/i）ii,其中i从1到n
mod = 1000000007
am = 1000000007 * 6
ans = 0
# 输入n
n = int(input())
m = n
for i in range(1, n+1):
#可以举例子发现g(n)=n // i的平方和
m = n // i#每次计算1~m
temp = (((m * (m + 1)) % am) * (2 * m + 1)) % am#计算1加到m的公式
temp //= 6
ans += temp
ans %= mod
# 输出结果
print(ans)
法三、求逆元
乘法逆元
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举个例子：（7/2）mod 5=>(7 * 1/2) mod 5=>(7 * 2^-1)mod 5;现在我们来找2的-1次方的逆元，就是找（多少2）mod 5=1,因为（23）mod 5=1，所以2和3在mod 5下互为“倒数”，这个倒数就叫乘法逆元。于是(7 * 2^-1)mod 5=>(7*3) mod 5=1。其中：乘法逆元只考虑取比mod 后数小的数；整数与模数互素才有乘法逆元。
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幂运算求逆元
def qmi(a, b, p):#a，b 和 p，分别表示底数、幂数和模数。
res = 1#用于保存最终的结果
while b:
if b & 1:#检查 b 的二进制表示的最低位是否为 1
res = res * a % p#如果最低位为 1，表示当前需要乘上 a，则将 res 乘以 a 并对 p 取模，然后将结果赋值给 res。
a = a * a % p #更新 a 的值为 a 的平方对 p 取模
b >>= 1#将 b 右移一位，相当于将 b 的二进制表示向右移动一位,等价于整数除以 2
return res
mod = 1000000007
ni = qmi(6, mod-2, mod)#由费马定理推理得出传参为mod-2
ans = 0
n = int(input()) # 输入n
m = n
# 第一个循环，从1到10000
for i in range(1, 10001):
m = n // i # 计算m
if m == 0:
print(ans)
exit(0)
temp = ((m * (m + 1)) % mod) * (2 * m + 1) % mod # 计算临时变量temp
temp *= ni # 通过乘法逆元，原来公式中的/6转化为*ni
temp %= mod
ans += temp
ans %= mod
# 第二个循环，从10001到m
for i in range(1, m + 1):
ans += ((n // i - 10000) * i*i) % mod
ans %= mod
print(ans)
- 硬编码
mod = 1000000007
ni = 166666668 #为6mod1000000007的乘法逆元
ans = 0
n = int(input()) # 输入n
m = n
# 第一个循环，从1到10000
for i in range(1, 10001):
m = n // i # 计算m
if m == 0:
print(ans)
exit(0)
temp = ((m * (m + 1)) % mod) * (2 * m + 1)) % mod # 计算临时变量temp
temp *= ni #通过乘法逆元，原来公式中的/6转化为*ni
temp %= mod
ans += temp
ans %= mod
# 第二个循环，从10001到m
for i in range(1, m + 1):
ans += ((n // i - 10000) * i*i) % mod
ans %= mod
print(ans)
