204. 计数质数(中)

目录

• 题目
• 法一、暴力法
• 法二、埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）
• 法三、线性筛法

题目

• 给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：0

法一、暴力法

• 超时：时间复杂度是O(n^2)

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        count=0
        if n==1 or n==0:
            return 0
        for i in range (2,n):  #遍历从2到n-1的所有数，这些数将被依次判断是否为质数。
            for j in range (2,i):  #对于每个待判断的数i，内层循环从2到i-1遍历，用j作为除数进行判断。
                if i%j == 0:   #如果i能被j整除，说明i不是质数，跳出内层循环。
                    break
            else:   #如果内层循环正常结束，说明i不能被任何一个j整除，说明i是质数，计数器count加1。
                count+=1
        return count

法二、埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）

• 挨个判断是不是质数，如果是质数则把该数的倍数都标注为质数

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n <= 2:
            return 0

        # 初始化一个布尔数组，用于标记数字是否为质数
        is_prime = [True] * n
        is_prime[0] = is_prime[1] = False   # 0和1不是质数，将它们标记为False

        # 使用埃拉托斯特尼筛法，遍历从2到根号n的所有数字
        for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
            if is_prime[i]:# 如果当前数字为质数
                # 将所有当前质数的倍数标记为非质数
                for j in range(i*i, n, i):
                    is_prime[j] = False

        # 统计is_prime中值为True的个数，即质数的个数
        count = sum(is_prime)
        return count

法三、线性筛法

• 埃氏筛的优化，埃氏筛同一个数比如12=26/34会被划多次造成浪费，线性筛则对此优化，

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n <= 2:
            return 0

        is_prime = [True] * n  # 初始化一个布尔数组，用于标记数字是否为质数
        primes = []  # 创建一个空列表，用于存储质数
        
        for i in range(2, n):# 遍历从2到n的所有数字
            if is_prime[i]:# 如果当前数字为质数，将其添加到质数列表
                primes.append(i)
            for p in primes: # 遍历质数列表
                if p * i >= n: # 计算当前质数与当前数字的乘积
                    break     # 如果乘积大于n，跳出循环
                is_prime[p * i] = False # 将乘积标记为非质数
                if i % p == 0:# 如果当前数字能被当前质数整除，跳出内层循环
                    break

        return len(primes)