思想/套路合集

合集 - 学习笔记合集(11)

1.树剖详解+习题2023-03-182.学习笔记——图的联通性问题2023-04-133.数据结构合集2023-07-134.字符串合集2023-05-135.数论合集2023-05-126.学习笔记——树形dp2023-04-217.组合数学与线性代数合集2023-08-03

8.思想/套路合集2023-07-25

9.动态规划合集2023-08-0910.搜索合集2023-09-1011.图论合集2023-09-10

收起

前缀转化信息的思想

这类问题通常是将序列或树上的区间类信息通过前缀和的方式转化为两个前缀和之间的关系，从而使用带权并查集或差分约束一类算法解决。

序列上的前缀和转换

例题 1 ABC216G Sequence

你需要构造一个长度为 $n$ 的 01 序列 $a$，满足 $m$ 个限制 $(l_i,r_i,x_i)$：$\sum _{i=l_i}^{r_i}{a}_i\ge x_i$。同时你需要保证 $\sum _{i=1}^n{a}_i$ 最小。

令 $su{m}_i=\sum _{j=1}^i{a}_j$，条件转化为 $su{m}_{r_i}-su{m}_{l_i}\ge x_i$，可以使用差分约束解决。

树上前缀和转换

例题 2 P4551 最长异或路径

给定一棵 $n$ 个点的带权树，结点下标从 $1$ 开始到 $n$。寻找树中找两个结点，求最长的异或路径。

异或路径指的是指两个结点之间唯一路径上的所有边权的异或。

令 $di{s}_i$ 为节点 $i$ 到根节点的异或和。由于异或的性质，$u,v$ 之间的异或路径就是 $di{s}_u⨁di{s}_v$。

于是可以使用 01trie 上贪心解决。

例题 3 奇偶树

（南外的题）

有一棵 $n$ 个节点的树，节点编号为 $1\sim n$。树的边权的取值只有 $0$ 和 $1$，且应当满足 $Q$ 个条件。每个条件形如 $(u,v,x)$，其中 $u$ 和 $v$ 是树中节点的编号，$x$ 是 $0$ 或 $1$。

条件的含义为树上从 $u$ 到 $v$ 的路径上的边权和在模 $2$ 意义下应与 $x$ 相等（即若 $x=0$ 则和应为偶数；若 $x=1$ 则和应为奇数）。

现在想要知道,在满足这 $Q$ 个条件的前提下，整棵树的边权有多少种方案。模 ${10}^9+7$。

首先应该知道，模 $2$ 意义下的加法就是异或。（赛时不知道直接开下一题了）

异或转换方法同上，然后就变成了带权并查集的经典问题。

跳过无用信息的思想

例题 4 香槟塔

$n$ 层容器，每层的容量为 $a_i$，第 $i$ 层满了就会流进第 $i+1$ 层，总共有 $q$ 次操作包括倒入第 $i$ 层 $v$ 的体积和
询问第 $k$ 层当前香槟的体积。

观察到算法的瓶颈在于每次香槟的流动，思考有没有什么特殊的性质能够让我们快速的处理？

可以发现，当一层容器的容量满了以后，这一层只会进行香槟的传递，并不会再容纳香槟。也就是说，当一个容器满了以后，这一层香槟的体积也不会再发生变化。

通过这个性质，可以使用一个链表来维护仍然可以容纳香槟的层，或者使用并查集来跳过已经满了的层。

时间复杂度为 $O(\sum a_i)$。

一个序列分为异或和相等的若干段

只需要判断 $2\sim 3$ 段是否成立。

不重不漏走完树上每一个点的最小距离

答案为边权和 $\times 2$ 减去直径长。

$O(n^2)$ 求 lcp

$$lc{p}_{i,j}=\{\begin{array}{r}lc{p}_{i-1,j-1}+1,s_i=t_j\\ 0,otherwise\end{array}$$