数论合集

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注：本文讨论都在正整数范围内。

质数

定义

我们把只能被 $1$ 和它本身整除的数称为质数。

质数的判定

试除法

将 $\sqrt{n}$ 以内的数一个个试除，来判定是否是质数。

时间复杂度：$O(\sqrt{n})$

埃氏筛

从 $2$ 开始，如果当前数没有被筛去，那么用这个数筛掉 $2\times n$，$3\times n\dots$ 的数，没有被筛去的即为质数。

时间复杂度：$O(n\log n)$

埃氏筛的优化

不难发现我们可以直接从 $n\times n$ 开始筛。

因为对于一个 $i\times n(2\le i<n)$，它一定被 $i$ 的最小质因子筛掉过，所以这样可以避免大部分的重复筛。

for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!st[i]){
		prime[++cnt]=i;
	}
	for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
		st[i*prime[j]]=1;
	}
}

时间复杂度：$O(n\log \log n)$

线性筛

我们要求每个合数只被它的最小质因子筛掉。

我们令 $f_x$ 为 $x$ 的最小质因子，那么一个合数 $n$ 仅会在 $i={\displaystyle \frac{n}{f_n}}$ 时筛去。

for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!st[i]){
		prime[++cnt]=i;
	}
	for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
		st[i*prime[j]]=1;
		if(i%prime[j]==0) break;
	}
}

欧拉函数

定义

欧拉函数 $\phi (n)$ 代表 $1-n$ 中与 $n$ 互质的数的个数。

性质

1. 对于一个质数，$\phi (n)=n-1$。

2. 对于两个互质的数 $a,b$，满足 $\phi (a)\phi (b)=\phi (ab)$。满足这个条件的函数称为积性函数，例如 $f(x)=114514x$ 也是积性函数。

3. $\sum _{d|n}\phi (n)=n$。

4. 若 $p$ 为质数，则 $\phi (p^a)=p^a-p^{a-1}$。

计算

法1 试除法

考虑一个数 $p^k$ 的欧拉函数。若一个数与 $p^k$ 不互质，那么这个数一定是 $p$ 的倍数。每 $p$ 个数中就会有一个 $p$ 的倍数，那么 $1-p^k$ 中就有 ${\displaystyle \frac{p^k}{p}}$ 个数与 $p^k$ 不互质。那么 $\phi (p^k)=p^k-{\displaystyle \frac{p^k}{p}}=p^k(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})$。所以我们将一个数 $n$ 分解质因数 $p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times \cdots \times p_m^{k_m}$。根据欧拉函数积性函数的性质，$\phi (n)=n(1-{\displaystyle \frac{1}{p_1}})(1-{\displaystyle \frac{1}{p_2}})(1-{\displaystyle \frac{1}{p_3}})\dots (1-{\displaystyle \frac{1}{p_m}})$。这个方法是 $O(\sqrt{n})$ 的。

法2 线性筛

我们可以利用欧拉函数积性函数的性质，若我们知道 $\phi (a)$ 和 $\phi (b)$，就可以推出 $\phi (ab)$。做这件事的之前，我们要把 $1-n$ 的质数筛出来用于递推。

在线性筛时，我们干：

1. 若 $i$ 为质数，则 $\phi (i)=i-1$。

2. 若 $i=p^k$（$p$ 为质数），则有 $\phi (i)=p^{k-i}\phi (p)$。

3. 若 $i=p_1{p}_2$，则 $\phi (i)=\phi (p_1{p}_2)$。

void getphi(int n){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			prime[cnt++]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){
			int t=prime[j]*i;
			st[t]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[t]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			phi[t]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
} 

模运算

定义

我们令 $amodb$ 为 $a÷b$ 的余数。

若 $amodm=b\mathrm{mod}m$，则我们记为 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

性质

1. $0\le amodb\le b-1$。

2. $(a+b)modm=(amodm+bmodm)modm$。

3. $(a-b)modm=(amodm-bmodm+m)modm$。

4. $(a\times b)modm=(amodm\times bmodm)modm$。

5. $a^{b}modm=(amodm{)}^{b}modm$

6. $a\equiv b(\mathrm{mod}m)\iff b\equiv a(\mathrm{mod}m)$。

7. $a\equiv b(\mathrm{mod}m),b\equiv c(\mathrm{mod}m)\Rightarrow a\equiv c(\mathrm{mod}m)$。

8. $a\equiv b(\mathrm{mod}m)\Rightarrow (a\pm c)\equiv (b\pm c)(\mathrm{mod}m)$。

9. $a\equiv b(\mathrm{mod}m)\Rightarrow (a\times c)\equiv (b\times c)(\mathrm{mod}m)$。

应用

求 gcd（辗转相除法）

辗转相除法依赖于定理：$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

证明

令 $m=a\mathrm{mod}b$，则 $a$ 可以表示为 $kb+m$，进一步有 $m=a-kb$。

设 $g$ 为 $a,b$ 的一个公因数，那么 $g|a,g|b$。

$\because m=a-kb,g|a,g|b$

$\therefore g|m$

$\therefore g$ 也是 $b,amodb$ 的公因数。

int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

裴蜀定理

令 $g=gcd(a,b)$，则 $ax+by=k$ 有解当且仅当 $g|k$。

扩展欧几里得算法

判定 $ax+by=gcd(a,b)$ 有解后，我们需要来解这个方程。

先推一波式子：

$ax+by=gcd(a,b)$

$ax+by=gcd(b,amodb)$

$bx+(amodb)y=gcd(b,amodb)$

$bx+(a-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor )y=gcd(b,amodb)$

$ay+b(x-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor y)=gcd(b,amodb)$

容易发现此时 $x$ 变成了 $y$，$y$ 变成了 $x-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor y$。

于是我们就可以递归求解了。

void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
	if(!b){
		x=1,y=0;
	}
	else{
		Exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
	}
}

乘法逆元

定义

若 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，则称 $x$ 为 $a$ 在 $modm$ 意义下的数论倒数（即乘法逆元），记为 $a^{-1}(\mathrm{mod}m)$ 或 $inv(a)$.

性质

1. 在 $modm$ 意义下，$÷a$ 等价于 $\times a^{-1}(\mathrm{mod}m)$。

2. $a$ 在 $modm$ 意义下有逆元，当且仅当 $gcd(a,m)=1$。
   证明：
   那么我们求逆元相当于解 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。
   $ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 等价于 $ax=1-my$。
   变形得 $ax+my=1$。
   根据裴蜀定理可得只有 $gcd(a,m)=1$ 时，原方程有解，即 $a$ 在 $modm$ 意义下有逆元。

求逆元

费马小定理求逆元

费马小定理：若 $b$ 为质数，且 $a,b$ 互质，则 $a^{b-1}\equiv 1(\mathrm{mod}b)$。

给式子变形，得 $a\times a^{b-2}\equiv 1(\mathrm{mod}b)$。

于是我们可以得出 $a^{b-2}$ 与 $a$ 在 $modb$ 意义下互为乘法逆元。

exgcd 求逆元

我们将 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 转化为 $ax+by=1$，用 exgcd 求解即可。

中国剩余定理

给出一个一元线性同余方程组：

$$\{\begin{array}{r}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ \dots \\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

中国剩余定理可以判定该方程组是否有解以及解的具体形式。

具体咋做还没学。