树剖详解+习题
主要思想
树链剖分（简称树剖）的思想在于将一棵树剖分为若干条链，从而转化为一个线性序列并使用数据结构维护来解决问题。
以下主要讲两种：一种是重链剖分，一种是长链剖分。
重链剖分
原理
重链剖分可以将树上的任意一条路径划分成不超过 \(O(\log n)\) 条连续的链，同时通过一个特殊的 dfs 保证同一条链上节点的 \(dfn\) 连续从而可以十分方便地使用线段树等数据结构进行维护树上一条路径的信息。
同时，每条链上节点的深度都是互不相同的，所以树剖也可以用于求解 LCA。
这里列出一些使用场景：
-
维护树上路径上的信息。
-
维护以一个节点为根的一棵子树上的信息。
实现
首先，给出一些定义：
重子节点：其子节点中拥有最大子树（以该儿子节点为根）的儿子节点。如果有多个随便取一个，如果是叶子节点则无重子节点。
轻子节点：不是重子节点的节点。
重边：该节点到它的重子节点的边。
轻边：该节点到它的轻子节点的边。
重链：若干条首尾衔接的重边。
如果我们把单独的一个节点也当作一条重链，那么整棵树就被剖分为若干条重链。
图中每一个颜色都代表着一条重链。
实现树剖，我们需要两次 dfs。
第一次 dfs 记录每个结点的父节点、深度、子树大小以及重子节点。
第二次 dfs 记录特殊 dfs 序下的 \(dfn\)（特殊 dfs 序为优先遍历重儿子。因为这样方便记录重链并且保证重链的 \(dfn\) 连续）、每条重链的链顶以及每个 \(dfn\) 对应的节点编号（可是我不知道有啥用）。
习题1 【模板】重链剖分/树链剖分
重链剖分，然后线段树维护即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,root,mod;
int val[maxn],cnt,size[maxn],son[maxn],top[maxn],dep[maxn],f[maxn],valt[200005],id[maxn];
struct node{
int val,tag,l,r;
}a[maxn*4];
vector<int> G[maxn];
void down(int v){
a[v*2].tag=(a[v*2].tag+a[v].tag)%mod;
a[v*2+1].tag=(a[v*2+1].tag+a[v].tag)%mod;
a[v*2].val=(a[v*2].val+a[v].tag*(a[v*2].r-a[v*2].l+1))%mod;
a[v*2+1].val=(a[v*2+1].val+a[v].tag*(a[v*2+1].r-a[v*2+1].l+1))%mod;
a[v].tag=0;
}
void add(int u,int l,int r,int v){
if(l<=a[u].l&&r>=a[u].r){
a[u].val=(a[u].val+v*(a[u].r-a[u].l+1))%mod;
a[u].tag=(a[u].tag+v)%mod;
return;
}
if(a[u].tag){
down(u);
}
int mid=(a[u].l+a[u].r)/2;
if(l<=mid){
add(u*2,l,r,v);
}
if(r>mid){
add(u*2+1,l,r,v);
}
a[u].val=(a[u*2].val+a[u*2+1].val)%mod;
}
int find(int u,int l,int r){
int val1=0;
if(l<=a[u].l && r>=a[u].r){
a[u].val=a[u].val%mod;
return a[u].val;
}
if(a[u].tag){
down(u);
}
int mid=(a[u].l+a[u].r)/2;
if(l<=mid){
val1=(find(u*2,l,r)+val1)%mod;
}
if(r>mid){
val1=(find(u*2+1,l,r)+val1)%mod;
}
return val1;
}
void dfs1(int u,int fa,int depth){
dep[u]=depth;
f[u]=fa;
size[u]=1;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v!=fa){
dfs1(v,u,depth+1);
size[u]+=size[v];
if(size[v]>size[son[u]]){
son[u]=v;
}
}
}
}
void dfs2(int u,int nowtop){
id[u]=++cnt;
valt[cnt]=val[u];
top[u]=nowtop;
if(son[u]){
dfs2(son[u],nowtop);
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v!=f[u]&&v!=son[u]){
dfs2(v,v);
}
}
}
}
void build(int u,int l,int r){
a[u].l=l;
a[u].r=r;
a[u].tag=0;
if(l==r){
a[u].val=valt[l];
a[u].val=a[u].val%mod;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(u*2,l,mid);
build(u*2+1,mid+1,r);
a[u].val=(a[u*2].val+a[u*2+1].val)%mod;
}
void updateintree(int x,int y,int val1){
val1%=mod;
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
swap(x,y);
add(1,id[top[x]],id[x],val1);
x=f[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
add(1,id[x],id[y],val1);
}
int queryintree(int x,int y){
int val2=0;
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
swap(x,y);
val2=find(1,id[top[x]],id[x])+val2;
val2%=mod;
x=f[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
val2=find(1,id[x],id[y])+val2;
val2%=mod;
return val2;
}
void update(int root3,int val21){
add(1,id[root3],id[root3]+size[root3]-1,val21);
}
int query(int root4){
int val3=0;
val3=find(1,id[root4],id[root4]+size[root4]-1)%mod;
return val3;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m>>root>>mod;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>val[i];
val[i]%=mod;
}
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs1(root,0,1);
dfs2(root,root);
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++){
int op,x,y,z;
cin>>op;
if(op==1){
cin>>x>>y>>z;
updateintree(x,y,z);
}
if(op==2){
cin>>x>>y;
cout<<queryintree(x,y)<<endl;
}
if(op==3){
cin>>x>>y;
update(x,y);
}
if(op==4){
cin>>x;
cout<<query(x)<<endl;
}
}
return 0;
}
习题2 P6098 [USACO19FEB]Cow Land G
还是树剖+线段树维护。
线段树操作改成单点修改区间查询（异或）就可以了。
一定要注意修改的是 \(x\) 的 \(dfn\) 啊！
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,root,mod;
int val[maxn],cnt,size[maxn],son[maxn],top[maxn],dep[maxn],f[maxn],valt[200005],id[maxn];
//以下是线段树
struct node{
int val,l,r;
}a[maxn*4];
vector<int> G[maxn];
void pushup(int u){
a[u].val=a[u*2].val^a[u*2+1].val;
}
void add(int u,int k,int v){
int L=a[u].l,R=a[u].r,M=L+R>>1;
if(L==R){
a[u].val=v;
return ;
}
if(k<=M){
add(u*2,k,v);
}
else{
add(u*2+1,k,v);
}
pushup(u);
}
int find(int u,int l,int r){
int val1=0;
if(l<=a[u].l&&r>=a[u].r){
return a[u].val;
}
int mid=(a[u].l+a[u].r)/2;
if(l<=mid){
val1=(find(u*2,l,r)^val1);
}
if(r>mid){
val1=(find(u*2+1,l,r)^val1);
}
return val1;
}
void build(int u,int l,int r){
a[u].l=l;
a[u].r=r;
if(l==r){
a[u].val=valt[l];
a[u].val=a[u].val;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(u*2,l,mid);
build(u*2+1,mid+1,r);
a[u].val=(a[u*2].val^a[u*2+1].val);
}
//以下为树剖
void dfs1(int u,int fa,int depth){
dep[u]=depth;
f[u]=fa;
size[u]=1;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v!=fa){
dfs1(v,u,depth+1);
size[u]+=size[v];
if(size[v]>size[son[u]]){
son[u]=v;
}
}
}
}
void dfs2(int u,int nowtop){
id[u]=++cnt;
valt[cnt]=val[u];
top[u]=nowtop;
if(son[u]){
dfs2(son[u],nowtop);
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v!=f[u]&&v!=son[u]){
dfs2(v,v);
}
}
}
}
int queryintree(int x,int y){
int sum=0;
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
swap(x,y);
sum^=find(1,id[top[x]],id[x]);
x=f[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
sum^=find(1,id[x],id[y]);
return sum;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>val[i];
}
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs1(1,0,1);
dfs2(1,1);//dfs
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++){
int op,x,y;
cin>>op;
if(op==1){
cin>>x>>y;
add(1,id[x],y);//一定要注意这里是id[x]
}
if(op==2){
cin>>x>>y;
cout<<queryintree(x,y)<<endl;
}
}
return 0;
}
习题3 P4116 Qtree3
对于每一个重链我们都使用一个 set 进行维护，存的是每一个重链中的黑色点，以深度为关键字排序。接下来考虑两种操作。
操作一：insert 一个黑点，或者 erase 一个黑点。
操作二：一直跳重链头更新答案。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x7fffffff;
int n,q;
vector<int> G[maxn];
int col[maxn],dfn[maxn],id[maxn],fa[maxn],size[maxn],hson[maxn],deep[maxn],top[maxn],cnt;
set<int> s[maxn];
void dfs1(int u,int father){
size[u]=1;
hson[u]=0;
fa[u]=father;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v!=father){
deep[v]=deep[u]+1;
dfs1(v,u);
size[u]+=size[v];
if(size[v]>size[hson[u]]){
hson[u]=v;
}
}
}
}
void dfs2(int u,int fa,int nowtop){
dfn[++cnt]=u;
id[u]=cnt;
top[u]=nowtop;
if(hson[u]){
dfs2(hson[u],u,nowtop);
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v!=fa&&v!=hson[u]){
dfs2(v,u,v);
}
}
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,0,1);
while(q--){
int op,u;
cin>>op>>u;
if(op==0){
col[u]^=1;
if(col[u]==1){
s[top[u]].insert(id[u]);
}
else{
s[top[u]].erase(id[u]);
}
}
else{
int maxx=inf;
while(u){
int it=*(s[top[u]].begin());
if(s[top[u]].size()&&deep[dfn[it]]<=deep[u]){
maxx=dfn[it];
}
u=fa[top[u]];
}
if(maxx==inf){
cout<<-1<<endl;
}
else{
cout<<maxx<<endl;
}
}
}
return 0;
}
习题4 Loj6669. Nauuo and Binary Tree
一道算是重链剖分的比较新奇的应用。看到这个 $ \le 30000$ 我们就应该知道询问次数应该在 \(\log\) 级别。
首先比较显然的，我们肯定是要查出每一个点到达根节点的距离来获得他们的深度，这样就保证了每一个点加入到树中时的时候其祖先节点都已经在了。
然后我们考虑询问。
集中注意力就可以想到在我们已经知道了每一个点深度的情况下，我们每一次询问实际上是可以得到这个点与另一个点 lca 的深度的。
这样我们就可以这么问：每一次在移动完轻边后查询当前节点重链低端的点和塞入点的 lca 的深度，如此我们就可以轻易得到下一次跳轻边的位置（因为是二叉树），然后重复上述步骤就可以了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3e3+10;
int n,fa[maxn];
struct node{
int id,dep,size,son[2],bot;
}tr[maxn];
bool cmp(const node a,const node b){
return a.dep<b.dep;
}
void work(int rt,int u,int goal){
tr[rt].size++;
if(tr[rt].dep>goal){
if(!tr[rt].son[0]){
tr[rt].son[0]=tr[rt].bot=u;
fa[tr[u].id]=tr[rt].id;
return ;
}
int dis;
cout<<"? "<<tr[tr[rt].bot].id<<" "<<tr[u].id<<endl;
fflush(stdout);
cin>>dis;
goal=(tr[tr[rt].bot].dep+tr[u].dep-dis)/2;
}
if(tr[rt].dep==goal){
if(!tr[rt].son[0]){
tr[rt].son[0]=tr[rt].bot=u;
fa[tr[u].id]=tr[rt].id;
return ;
}
if(!tr[rt].son[1]){
tr[rt].son[1]=u;
fa[tr[u].id]=tr[rt].id;
return ;
}
work(tr[rt].son[1],u,goal);
if(tr[tr[rt].son[1]].size>tr[tr[rt].son[0]].size)
swap(tr[rt].son[0],tr[rt].son[1]);
tr[rt].bot=tr[tr[rt].son[0]].bot;
return ;
}
work(tr[rt].son[0],u,goal);
tr[rt].bot=tr[tr[rt].son[0]].bot;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) tr[i].id=i;
for(int i=2;i<=n;i++){
cout<<"? "<<1<<" "<<i<<endl;
fflush(stdout);
cin>>tr[i].dep;
}
sort(tr+2,tr+1+n,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++) tr[i].size=1,tr[i].bot=i;
for(int i=2;i<=n;i++) work(1,i,-1);
cout<<"! ";
for(int i=2;i<=n;i++){
cout<<fa[i]<<" ";
}
return 0;
}
